Pengalaman saat pembelajaran Matematika: Penerapan Turunan : Kemonotonan, Interval Fungsi Naik/Turun, Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Assalamualaikum Wr.Wb
Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)
Kelas : XI IPS 2

Penerapan Turunan : Kemonotonan, Interval Fungsi Naik/Turun, Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Penerapan Turunan: Metode Newton

Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari suatu teknik untuk mendekati pembuat nol suatu fungsi. Teknik tersebut disebut Metode Newton, dan metode ini menggunakan garis singgung untuk mendekati perpotongan suatu grafik fungsi dengan sumbu-x.

Metode Newton

Untuk melihat bagaimana Metode Newton bekerja, perhatikan suatu fungsi f yang kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensialkan pada selang (a, b). Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan, maka berdasarkan Teorema Nilai Antara, f haruslah memiliki minimal satu pembuat nol pada selang (a, b). Untuk memperkirakan pembuat nol tersebut, kita pilih

Perkiraan Pertama

seperti yang ditunjukkan Gambar (a). Metode Newton didasarkan pada asumsi bahwa grafik f dan garis singgungnya pada (x1, f(x1)) memotong sumbu-x kira-kira pada titik yang sama. Karena kita dengan mudah dapat menentukan titik potong garis singgung dengan sumbu-x, kita dapat menggunakan titik tersebut sebagai perkiraan kedua (dan biasanya lebih baik) untuk mendekati pembuat nol f. Garis singgung tersebut menyinggung pada titik (x1, f(x1)) dengan gradien f ’(x1). Persamaan garis yang melalui titik dan memiliki gradien tertentu dapat dituliskan

Persamaan Garis

Dengan memisalkan y = 0 dan menyelesaikan persamaan tersebut ke dalam x menghasilkan

Persamaan dalam x

Sehingga, dari perkiraan awal x1, kita memperoleh perkiraan yang baru

Perkiraan Kedua

Kita dapat memperbaiki x2 dan menghitung perkiraan yang ketiga

Perkiraan Ketiga

Pengulangan proses di atas disebut sebagai Metode Newton.

Metode Newton untuk Mendekati Pembuat Nol Suatu Fungsi

Misalkan f(c) = 0, dimana f terdiferensialkan pada selang buka yang memuat c. Maka, untuk mendekati c, kita lakukan langkah-langkah berikut.

Buat perkiraan awal x1 yang dekat ke c. (Grafik fungsi bisa membantu).
Tentukan perkiraan baru

Jika |xn – xn + 1| masuk dalam akurasi yang diharapkan, maka xn + 1 merupakan perkiraan akhir. Jika tidak, kembali ke langkah 2 dan hitung perkiraan baru.

Masing-masing terapan berurutan prosedur ini disebut sebagai iterasi.

Contoh 1: Menggunakan Metode Newton

Hitunglah tiga iterasi Metode Newton untuk mendekati pembuat nol f(x) = x² – 2. Gunakan x1 = 1 sebagai perkiraan awal.

Pembahasan :

Karena f(x) = x² – 2, kita dapatkan f ’(x) = 2x, dan rumus iteratifnya adalah

Contoh 1 Rumus Iteratif

Perhitungan tiga iterasi Metode Newton fungsi yang diberikan dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.

Contoh 1 Tabel

Tentunya, dalam kasus ini kita tahu bahwa dua pembuat nol fungsi tersebut adalah ±√2. Dalam enam angka di belakang koma, √2 = 1,414214. Sehingga, kita menghasilkan suatu pendekatan yang berselisih 0,000002 dari akar sebenarnya. Iterasi pertama proses ini digambarkan oleh gambar di bawah.

Contoh 1

Penerapan Turunan: Masalah Optimalisasi

Salah satu penerapan kalkulus yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Sebelum kita menguraikan strategi untuk menyelesaikan permasalahan seperti itu, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menentukan Volume Terbesar

Suatu perusahaan ingin merancang suatu kotak terbuka yang memiliki alas persegi dan luas permukaan 108 cm², seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Berapakah panjang, lebar, dan tinggi kotak tersebut agar menghasilkan kotak dengan volume terbesar?

Contoh 1

Pembahasan :

Karena kotak tersebut memiliki alas persegi, maka volumenya

Contoh 1 V

Persamaan ini disebut sebagai persamaan primer karena persamaan tersebut memberikan rumus untuk nilai yang akan dioptimumkan. Luas permukaan kotak tersebut adalah,

Contoh 1 L

Karena V akan dimaksimumkan, maka kita perlu menulis V hanya ke dalam satu variabel. Untuk itu, kita harus menyelesaikan persamaan 108 = x² + 4xt dalam t yang memuat variabel x. Sehingga dihasilkan t = (108 – x²)/(4x). Dengan mensubstitusi nilai t tersebut ke dalam persamaan primer, didapatkan

Contoh 1 V 1 variabel

Sebelum menentukan nilai x mana yang dapat menyebabkan V maksimum, kita terlebih dulu harus menentukan domain fungsi V, yaitu nilai x yang masuk akal dalam masalah ini. Kita tahu bahwa V ≥ 0. Kita juga tahu bahwa nilai x yang masuk akal adalah nilai yang tidak negatif dan luas alas (A = x²) memiliki nilai maksimum 108, sehingga domain fungsi tersebut adalah

Contoh 1 Domain

Untuk memaksimumkan V, kita tentukan nilai kritis fungsi V pada selang (0, √108).

Contoh 1 Nilai Kritis

Sehingga diperoleh nilai kritis x = ±6. Kita tidak perlu mempertimbangkan x = –6 karena terletak di luar domain. Kita tentukan nilai V pada nilai kritis dan kedua ujungnya, diperoleh V(0) = 0, V(6) = 108, dan V(√108) = 0. Jadi, V akan bernilai maksimum pada x = 6, dan ukuran kotak yang dimaksud adalah 6 cm × 6 cm × 3 cm.

Pada Contoh 1, kita menyadari bahwa terdapat tak hingga banyak kotak terbuka yang memiliki luas alas 108 cm². Untuk memulai menyelesaikan permasalahan tersebut, kita harus menanyakan kepada diri kita sendiri bentuk kotak yang seperti apa yang dapat menghasilkan volume maksimum. Apakah kotak panjang, pendek, atau kotak yang menyerupai kubus?

Kita bisa mencoba untuk menghitung beberapa volume, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah, untuk memprediksi bentuk manakah yang menghasilkan volume maksimum. Ingat bahwa kita tidak siap untuk menyelesaikan masalah sampai kita dapat mengidentifikasi permasalahan tersebut.

Contoh 1 Ilustrasi

Contoh 1 mengilustrasikan langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan optimalisasi berikut.

Panduan Menyelesaikan Permasalahan Optimalisasi

Identifikasi semua kuantitas yang diberikan dan semua kuantitas yang akan ditentukan. Jika mungkin, buatlah sketsa.
Tulis persamaan primer untuk kuantitas yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.
Reduksi persamaan primer menjadi persamaan yang hanya memuat satu variabel bebas. Hal ini melibatkan persamaan kedua yang memuat variabel bebas persamaan primer.
Tentukan domain persamaan primer. Sehingga kita harus menentukan semua nilai yang menyebabkan permasalahan yang diberikan masuk akal.
Tentukan nilai maksimum atau minimum yang diinginkan dengan menggunakan teknik kalkulus.

Penerapan Turunan: Kecekungan dan Uji Turunan Kedua

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk melakukan hal-hal berikut.

Menentukan selang di mana suatu fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Menemukan titik belok grafik suatu fungsi.
Menerapkan Uji Turunan Kedua untuk menemukan nilai ekstrim suatu fungsi.

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).

- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Cekung ke Atas dan Bawah

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

Contoh Fungsi

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

Contoh Turunan Fungsi

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Ilustrasi Menentukan Selang

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Contoh 1: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

Contoh 1 Soal

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.

Contoh 1 Turunan

Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ” terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞). Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut.

Selang	–∞ < x < –1	–1 < x < 1	1 < x < ∞
Nilai Uji	x = –2	x = 0	x = 0
Tanda f ”(x)	f ”( –2) > 0	f ”(0) < 0	f ”(2) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Contoh 1

Fungsi yang diberikan dalam Contoh 1 kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Jika ada nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi tidak kontinu, nilai-nilai tersebut harus digunakan bersama dengan titik-titik yang menyebabkan f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada, untuk membentuk selang-selang uji.

Kemonotonan Fungsi

Ringkasan:

Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu.

Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya.

Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0.

Definisi Monoton

- Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) < f(x₁)

- Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika

untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) > f(x₁)

Teorema Kemonotonan

- Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

f'(x) > 0 untuk semua x pada interval I

- Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika

f'(x) < 0 untuk semua x pada interval I

Contoh Soal :

INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN

Interval fungsi naik terdapat pada nilai ordinat bergerak ke atas saat nilai absis bergerak

ke kanan. Interval fungsi turun terdapat pada nilai ordinat bergerak ke bawah saat saat nilai

absis bergerak ke kanan. Daerah atau interval fungsi naik dan turun dapat dicari

menggunakan syarat fungsi naik dan fungsi turun. Syarat tersebut terdapat dalam sebuah

teorema yang dikenal dengan nama teorema kemonotonan.

Contoh kurva yang memuat fungsi naik dan turun terdapat pada fungsi y = x2. Pada

persamaan fungsi tersebut, nilai ordinat y beregerak ke bawah pada selang interval

absis –∞ < x <0. Sebaliknya, nilai ordinat (y) bergerak ke atas pada selang interval

absis 0 < x < ∞. Kesimpulannya, fungsi turun terdapat pada interval –∞ < x <0 dan

fungsi naik terdapat pada interval 0 < x < ∞.

Menentukan Interval Suatu Fungsi Naik atau Fungsi Turun
Oke sekarang kita lanjut mengenai cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun.

Untuk menentukan interval fungsi f(x) naik adalah dengan menyelesaikan

pertidaksamaan f ′(x) > 0. Demikian juga untuk menentukan interval fungsi f(x) turun

adalah dengan menyelesaikan pertidaksamaan f ′(x) < 0. Untuk lebih memahami,

perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 1
Diketahui suatu fungsi f(x) = x2 – 4x tentukan agar fungsi tersebut agar naik dan tentukan

juga agar fungsi tersebut turun.
Penyelesaian:
Syarat supaya fungsi naik adalah:
f ′(x) > 0
2x – 4 > 0
2x > 4
x > 2
Syarat supaya fungsi turun adalah:
f ′(x) < 0
2x – 4 < 0
2x < 4
x < 2
Contoh soal 2
Ditentukan f(x) = 1/3 x3 – 2x2 – 5x + 10. Tentukan interval agar kurva y = f(x) naik,

dan kurva y = f(x) turun.
Penyelesaian:
f(x) = 1/3 x3 – 2x2 – 5x + 10 ⇒ f ′(x) = x2 – 4x – 5
Syarat fungsi naik:
f ′(x) > 0
x2 – 4x – 5 > 0
(x + 1)(x – 5) > 0
x + 1 = 0 atau x – 5 = 0
x = –1 atau x = 5
Interval x agar kurva naik adalah x < –1 atau x > 5.
Syarat fungsi turun
f ′(x) < 0
x2 – 4x – 5 < 0
(x + 1)(x – 5) < 0
x + 1 = 0 atau x – 5 = 0
x = –1 atau x = 5
Interval x agar kurva turun adalah –1 < x < 5.