Assalamualaikum Wr.Wb
Nama : Khairunnisa Ika Putri (18)
Kelas : XI IPS 2
PROGRAM LINEAR
Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.
MODEL MATEMATIKA PROGRAM LINEAR
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.
Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
- Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
- Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:
Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y
Syarat:
= 200x + 180y ≤ 72.000
= 150x + 170y ≤ 64.000
= x ≥ 0
= y ≥ 0
NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF
Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
•Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
•Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya.
•Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
•Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
1)Menggunakan garis selidik
2)Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
1) Menggunakan Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah
ax + by = Z
Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.
2) Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan
1. Nilai maksimum f(x, y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan x + y ≤ 8, x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ...
a. 24
b. 32
c. 36
d. 40
e. 60
PEMBAHASAN:
- x + y ≤ 8
ketika x = 0, maka y = 8 .... (0, 8)
ketika y = 0, maka x = 8 .... (8, 0)
- x + 2y ≤ 12
ketika x = 0, maka y = 6 .... (0, 6)
ketika y = 0, maka x = 12 .... (12, 0)
Sehingga, grafik dari pertidak samaan di atas adalah:
Kita cari dulu titik B, yaitu titik potong dua buah garis, yaitu:
subtitusikan y = 4 dalam x + y = 8
x + 4 = 8
x = 4 .... (4, 4)
Jadi, nilai fungsi obyektifnya adalah:
f(x, y) = 5x + 4y
- titik A (0, 6)
5x + 4y = 5.0 + 4.6 = 24
- titik B (4, 4)
5x + 4y = 5.4 + 4.4 = 20 + 16 = 36
- titik C (8, 0)
5x + 4y = 5.8 + 4.0 = 40
Jadi, nilai maksimumnya adalah 40.
JAWABAN: D
2. Nilai minimum fungsi obyektif f(x, y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ...
a. 4
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar berikut:
Ingat ya, rumus persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah: ax + by = a.b, maka:
- Persamaan garis p = 4x + 2y = 4.2 = 4x + 2y = 8 = 2x + y = 4
- Persamaan garis q = 3x + 3y = 3.3 = 3x + 3y = 9 = x + y = 3
Selanjutnya, kita cari titik potong garis p dan q, yaitu di titik B:
subtitusikan x = 1 dalam x + y =3
1 + y = 3
y = 2 .... B(1, 2)
kita cari nilai dari fungsi obyektif f(x, y) = 3x + 2y:
- Titik A (0, 4)
3x + 2y = 3.0 + 2.4 = 8
- Titik B (1, 2)
3x + 2y = 3.1 + 2.2 = 7
- Titik C (3, 0)
3x + 2y = 3.3 + 2.0 = 9
Jadi, nilai minimumnya adalah 7
JAWABAN: C
3. Daerah yang merupakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12, 4x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ...
a. I
b. II
c. III
d. IV
e. I dan III
PEMBAHASAN:
- Daerah hasil 2x + 3y ≤ 12 adalah area II dan III
- Daerah hasil 4x + y ≥ 10 adalah area III dan IV
Maka, yang mencakup keduanya adalah area nomor III
JAWABAN: C
4. Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model B memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Persediaan kain polos 20 m dan bergaris 10 m. Banyaknya total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing...
a. 7 dan 8
b. 8 dan 6
c. 6 dan 4
d. 5 dan 9
e. 4 dan 8
PEMBAHASAN:
Dari soal dapat diresume dalam tabel berikut;
Model matematika yang dapat dibentuk:
x + 2y ≤ 20
1,5x + 0,5 y ≤ 10 atau 15x + 5y ≤ 100
Kita cari titik potong kedua garis tersebut:
subtitusikan x = 4 dalam persamaan x + 2y = 20
4 + 2y = 20
2y = 16
y = 8
maka, banyak model A = 4 dan model B = 8
JAWABAN: E
5. Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ...
a. 30
b. 26
c. 24
d. 21
e. 18
PEMBAHASAN:
Perhatikan gambar:
- Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12
- Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12
Titik potong garis p dan q adalah:
subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12:
2x + 3.12/5 = 12
2x = 12 – 36/5
2x = 60/5 – 36/5
2x = 24/5
x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5)
Nilai dari fungsi obyektif 3x + 5y adalah:
- Titik A (0, 6)
3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30
- Titik B (12/5, 12/5)
3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2
- Titik C (6, 0)
3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18
Jadi, nilai minimumnya adalah 18
JAWABAN: E
6. Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ...
a. 10
b. 14
c. 18
d. 20
e. 24
PEMBAHASAN:
- 3x + y ≤ 9
Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9)
Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0)
- 5x + 4y ≥ 20
Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5)
Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0)
Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya:
Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B:
subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9
3.16/7 + y = 9
48/7 + y = 9
y = 9 – 48/7
y = 63/7 – 48/7
y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7)
Kita cari nilai dari fungsi obyektif z = -3x + 2y:
- Pada titik A (0, 9)
-3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18
- Pada titik B (16/7, 15/7)
-3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7
- Pada titik C (0, 5)
-3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4
Jadi, nilai maksimumnya adalah 18.
JAWABAN: C
7. Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik ...
a. P
b. Q
c. R
d. S
e. T
PEMBAHASAN:
Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas:
- Titik P
P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
2y + y = 9
3y = 9
y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3
- Titik Q
Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
x + 2x = 9
3x = 9
x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15
- Titik R
R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja:
2.2x + x = 20
5x = 20
x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20
- Titik S
S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja:
x + x = 20
2x = 20
x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5)
Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5
Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R
JAWABAN: C
8. Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah ...
a. -14
b. -11
c. -9
d. -6
e. -4
PEMBAHASAN:
- 2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20
Untuk x = 0, maka y = 20 ... (0, 20)
Untuk y = 0, maka x = 10 .... (10, 0)
- 2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10
Untuk x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = -5 .... (-5, 0)
- x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5
Untuk x = 0, maka y = 5 ... (0, 5)
Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)
- x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5
Untuk x = 0, maka y = -2,5 ... (0, -2,5)
Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0)
Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya:
- titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:
2x + 15 = 20
2x = 5
x = 5/2 ... titik A (5/2, 15)
Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61
- titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya:
2x + 2 = 20
2x = 18
x = 9 ... titik B (9, 2)
Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 + 6 = -4
- titik C (5, 0)
Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 + 6 = -4
- titik D (0, 5)
Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + 6 = 2
- titik E (0, 10)
Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.10 + 6 = 0 + 40 + 6 = 46
Sehingga, nilai minimalnya adalah -4
JAWABAN: E
9. Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah ...
a. -19
b. -6
c. -5
d. -3
e. 23
PEMBAHASAN;
- –x + y = 1
Jika x = 0, maka y = 1 ... (0, 1)
Jika y = 0, maka x = -1 ... (-1, 0)
- x + 2y = 5
jika x = 0, maka y = 5/2 ... (0, 5/2)
jika y =0, maka x = 5 ... (5, 0)
- 2x + y = 10
Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10)
Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0)
Mari kita gambar daerah hasilnya:
- Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya:
2.3 + y = 10
6 + y = 10
y = 4 ... titik A (3, 4)
Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5
- Titik B adalah titik potong antara –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya:
x + 2.2 = 5
x + 4 = 5
x =1 ... titik B (1, 2)
Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3
- Titik C (5, 0)
Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23
Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5
JAWABAN: C
10. Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum ...
a. 9.000
b. 11.000
c. 13.000
d. 15.000
e. 16.000
PEMBAHASAN:
- x = 800
- y = 600
- x + y = 1000
jika x = 0, maka y = 1000 ... (0, 1000)
jika y = 0, maka x= 1000 ... (1000, 0)
Yuk, kita gambar daerah hasilnya:
- titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah:
x + 600 = 1000
x = 400 ... titik A (400, 600)
Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000
- titik B (0, 600)
Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000
- titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah:
800 + y = 1000
y = 200 .... titik C (800, 200)
Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000
- titik D (800, 0)
Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000
Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000
JAWABAN: C
ESSAY
1. Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan :
- Langkah 1 menggambar grafiknya
- Langkah 2 menentukan titik ekstrim
Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.
- Langkah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.
Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!
Pembahasan :
Titik ekstrim pada gambar adalah:
•A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
•B(3, 6)
•C(8, 2)
•D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
-
-
-
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
3. Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan :
Diketahui:
Dengan syarat:
-Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
-Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000
-x ≥ 0
-y ≥ 0
Diagramnya:
Titik ekstrim:
-A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
-C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
-
dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:
Sehingga jumlah masimum:
- Apel: 150 kg
- Pisang: 250 kg
STUDI PUSTAKA
-
https://www.studiobelajar.com/program-linear/
-
https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_7.html?m=1
