Soal PTS dan Pembahasan

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19) 

Kelas : XI IPS 2

Soal PTS dan Pembahasan

 

2. L persegi = s²

    f(x) = axⁿ  

        f'(x) = nx^n-1

        f (x) = x²

        f'(x) = 2x ^2-1 =2x

             x = 6  

    f'(6) = 2.6

            =12

3. Diketahui:

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    Ditanya:

    Laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang = ?

    Jawab:

    Laju perubahan pada t = 5 dihitung dengan  p' (5)

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    P' (t) = 2 . 10³  . t  - 5 .10²

    P' (5) = 2 . 10³ (5) - 5 . 10²

             = 10 . 10³ - 5 .10²

             = 10.000 - 500

             = 9.500. penduduk

      Jadi, laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang adalah *9.500. penduduk*

4. n = 2m - 40

    p = m² + n²

       = m² + (2m - 40)²

       = 5m² - 160m + 1600

    minimum saat p' = 0

       10m - 160 = 0

    m = 16

    n = 32 - 40 = - 8

    maka nilai minimumnya:

    p = 16² + (-8)² = 256 + 64 = 320

5. Diberikan fungsi f(x) = ax² + bx+ c. Jika f'(0) = 2 dan          f(2)=6. 

Tentukan nilai     a, b, dan c!

    Jawab :

    • f'(x) = 2ax + b

            2 = 2a(0) + b

            2 = 2+b

            b = 0

    • f(2) = a(2)²+ b(2) + c

          6 = 2a² + 2b + c

          6 = 2a² + c

          c = 6 - 2a²

         a² = c/2 - 3

         a  = c/2 / ½ - 3/½

    Jadi, a = c/2 / ½ - 3/½, b= 0, dan c = 6 - 2a²

1. Lim = 2x + 3 x²

     X →2

    = 2(2) + 3(2)²

    = 4 + 3(4)

    = 4 + 12

    = 16

2. Lim = (x²-5)³

     X →-3

     = ((-3)²- 5)²

     = (9-5)³

     = 4³

     = 64

7. gradien garis singgung adalah turunan pertama fungsi

m=y'

y=x³+10
y=18

18=x³+10
x³=18-10
x³=8
x³=2³
x=2

m=y'
m=3x²=3(2)²=12

y-y1=m(x-x1)
y-18=12(x-2)
y-18=12x-24
y=12x-24+18
y=12x-6

8. Tentukan pers garis singgung pada kurva y=x^4 -7x^2+20 di titik yg berabsis 2

Persamaan garis singgug

y = x⁴ - 7x² + 20
titik singgung (x,y)
x= 2 ,
y = (2⁴) - 7(2²) + 20 = 8

gradien garis m = y' = 4x³ - 14x
x = 2 ,
m = 4(8)- 14(2) = 32 -28 = 4

pers garis singgung y - y1 = m( x - x1)
y- 8 = 4(x - 2)
y = 4x - 8 + 8
y = 4x

9. Garis yang menyinggung kurva y = 12  - x⁴  dan tegak lurus dengan x - 32y = 48 mempunyai persamaan ...

y = 12  - x⁴
y' = - 4x³

Persamaan garis dari soal :
x - 32y = 48
32y = x - 48

Garis ini memiliki gradien


Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka
m₁.m₂ = -1

m₂= -32
m₂ ini adalah gradien garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y' = -32
 - 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
 y = 12  - x⁴ = 12-2⁴ = -4
Persamaan garis singgungnya adalah
y - y₁ = m(x - x₁)
y + 4 = -32(x - 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Assalamualaikum wr.wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2 

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Kurva suatu fungsi dapat digambar dengan menganalisis beberapa konsep turunan, yaitu fungsi naik atau turun, titik optimum (maksimum atau minimum), titik stasioner, dan titik belok. Fungsi naik dan fungsi turun dapat kita amati pada sebuah bola yang dilemparkan ke atas. Pergerakan bola dari titik di permukaan menuju titik tertinggi merupakan kurva naik. Sedangkan pergerakan bola dari titik tertinggi menuju titik di permukaan merupakan fungsi turun.

Titik optimum (maksimum atau minimum) dinyatakan jika gradien suatu fungsinya sama dengan nol (m = 0). Karena gradien sama dengan turunan pertama dari fungsi tersebut maka turunan pertama dari fungsi sama dengan nol (f'(x) = 0). Titik tersebut dinyatakan dengan titik stasioner. Beberapa sifat dari turunan pertama dan kedua yang menyatakan titik stasioner, optimum, dan titik belok suatu fungsi pada x1 dapat kita nyatakan sebagai berikut:

f'(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik stasioner,

f'(x1) = 0 dan f''(x1)>0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik minimum,

f'(x1) = 0 dan f''(x1)<0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik maksimum,

f''(x1) = 0, maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :

i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi y=0y=0 . Titik potong sumbu Y, substitusi x=0x=0 .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai yy untuk xx besar positif dan untuk xx besar negatif.Contoh :

1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3y=3x2−x3.

Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0

y=0 y=0→y 0=3x2−x3

3x2−x3=0

x2(3−x)

x=0 ∨ x =3

Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi x=0

y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0

Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,

Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x

*). Syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=0 6x−3x2=0

3x(2−x)=0

x=0 v x =2

Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).

*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xx semakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).

2. Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.
Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:
Interval naik atau turun pada fungsi:
Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini:Contoh soal 1

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = 9/2
• titik balik yp = -49/4
• y = 8

xp = -b         9

       2 . a  =  2

Sehingga kita dapat a = 2

                                      2  = 1 dan b = -9.

yp = -(b2 – 4 . a . c)      -49

                 4 . a          =   4

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c = 32

      4    = 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x2 + 9x + 20
2. y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal 5 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1 = -5
• x2 = -3
• y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (x – x1) (x – x2)
• y = a (x – (-5)) (x – (-3))
• y = a (x + 5) (x + 3)
• y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
• y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

• 15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
• 15 = a . 15
• a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (x2 + 8x + 15)
• y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

Wassalamualaikum wr. wb.

Sumber :

https://www.kompas.com/skola/read/2020/11/18/174944769/menggambar-grafik-fungsi-pada-konsep-turunan?page=all

https://novandhikarf.wixsite.com/home/post/grafik-turunan

Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Pengertian Nilai Stasioner Fungsi

Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4 adalah f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)² + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)² + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.

Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f.

Definisi 1 :

Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

a.       Jika f′(x)f′(x) bertanda positif, atau f′(x)>0f′(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).

b.       Jika f′(x)f′(x) bertanda negatif, atau f′(x)<0f′(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).

c.       Jika f′(x)f′(x) bertanda netral, atau f′(x)=0f′(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi y=f(x)y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x)y=f(x) dalam interval II dengan f(x)f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap xx di dalam interval II.

1.       Jika f′(x)>0f′(x)>0, maka kurva f(x)f(x) akan selalu naik pada interval II.

2.       Jika f′(x)<0f′(x)<0, maka kurva f(x)f(x) akan selalu turun pada interval II.

3.       Jika f′(x)=0f′(x)=0, maka kurva f(x)f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval II.

4.       Jika f′(x)≥0f′(x)≥0, maka kurva f(x)f(x) tidak pernah turun pada interval II.

5.       Jika f′(x)≤0f′(x)≤0, maka kurva f(x)f(x) tidak pernah naik pada interval II.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi f(x)f(x) berikut.

Contoh Soal

1. Interval x yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah ...

A. −1 < x < 3

B. 0 < x < 3

C. 1 < x < 3

D. x < 1 atau x > 3

E. x < 0 atau x > 3

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

$\mathrm{2.\; Diberikan\; Fungsi\; g}\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah ...
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan : 

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$
(Jawaban C)

$\mathrm{3.\; Grafik\; Fungsi\; p}\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan :

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$
(Jawaban B)

$\mathrm{4.\; Grafik\; Fungsi\; \pi }\left(x\right)=x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

Pembahasan : 

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$
(Jawaban A)

$\mathrm{5.\; Diberikan\; fungsi\; R}\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan : 

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$.
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

 

(Jawaban B)

Daftar Pustaka

- https://www.nafiun.com/2014/06/pengertian-nilai-stasioner-fungsi-contoh-soal-rumus-cara-menetukan-dan-menghitung-pembahasan-matematika.html

- https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/#:~:text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda,turun%20(disebut%20fungsi%20turun)