Barisan dan Deret Aritmatika beserta contoh soalnya

 Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap. Nah, polanya itu bisa berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang dinamakan beda. Biasa disimbolkan dengan b.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan U1 atau a. Lalu, di suku kedua (U2), yaitu 5. Suku ketiga (U3), yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.

2, 5, 8, ...

(setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu 3)

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan arimatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

Contoh Soal Barisan Aritmatika

1. Nilai 

A. 882

B. 1030

C. 1040

D. 1957

E. 2060

Jawaban : B

Pembahasan : 

2. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut adalah….

A. 97

B. 101

C. 105   

D.109   

E. 113

Jawaban : B

Pembahasan : 

3. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku yang ke 15 = ….

A. 11

B. 25

C. 31       

D. 33       

E. 59

Jawaban : C

Pembahasan : 

4. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah…

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Jawaban : B

Pembahasan :

5. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah 1 n (3n – 1). Beda dari barisan aritmetika itu 2 adalah….

A. -3

B. -2

C. 3

D. 2

E. 4

Jawaban : C

Pembahasan : 

Jumlah n suku pertama :

6. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7

                  b = –2

Ditanya : U40 ?

 

Jawab:

Un        = a + (n-1)b

U40      = 7 + (40-1)(-2)

             = 7 + 39 . (-2)

             = 7 + (-78)

             = – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

7. Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

                  b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab :

Un = a + (n-1)b

      = 5 + (n-1).(-7)

      = 5 - 7n + 7

      =12 - 7n

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah Un = 12 - 7n

8. Pada suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-4 adalah 18 dan suku ke-10 adalah 48.

a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut !

b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut !

Jawaban :

9. Tentukan suku tengah dari barisan aritmetika 5, 8, 11, 14, … , 77.

Jawaban :

Barisan aritmetika tersebut mempunyai suku pertama a = 5 dan beda b = 3.

Untuk mengetahui suku tengah , terlebih dahulu tentukan banyaknya suku barisan tersebut.

10. Diketahui barisan aritmetika 3, 19, 35, … dan antara tiap dua suku yang berurutan disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru

a. Tentukan beda barisan aritmetika baru!

b. Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika baru!

Jawaban :

DERET ARITMATIKA

Deret aritmatika (Sn) adalah jumlah suku ke-n pada barisan aritmatika.  atau bisa juga diartikan sebagai pola bilangan berderet di dalam matematika, yang mempunyai manfaat sangat penting dalam berbagai hal.

Secara konsep sebenarnya untuk deret aritmatika ini sederhana karena kita hanya menjumlahkan Barisan aritmatika yang sudah kita bahas sebelumnya sampai suku ke-n tergantung apa yang diperintahkan.

Dengan,

a adalah suku pertama

b adalah beda

Sn adalah jumlah suku ke-n

Contoh Soal Deret Aritmatika

1. Tentukanlah nilai dari suku ke-35 dari barisan deret aritmatika seperti berikut ini : 2, 4 , 6, 8 , … ?

A. 54

B. 45

C. 70

D. 74

E. 75

Penyelesaiannya :

Diketahui : Deret aritmatika: 2, 4, 6, 8, …

Jawaban :

a = 2

b = 4-2 = 2

Un = a + (n-1) b

Un = 2 + (35-1) 2

Un = 2 +   (34).2

Un = 2 + 68

Un = 70

Jadi nilai pada suku ke-35 (U35) ialah 70. (C)

2. Diketahui pada suatu deret aritmatika : 3, 6, 12, 27, …., hitunglah beda dan suku ke-8 dari contoh deret aritmatika tersebut..

A. Beda 3, U8 =24

B. Beda 3, U8 =31

C. Beda 2, U8 =45

D. Beda 4, U8 =22

E. Beda 4, U8 =32

Penyelesaiannya :

Diketahui : Deret aritmatikanya: 3, 6, 12, 27, …

Ditanya : b dan U8 ?

Jawaban :

b = 6 – 3 = 3

Un = a + (n-1) b

Un = 3 + (8-1) 3

Un = 3 + (7).3

Un = 3 + 21

Un = 24

Jadi nilai dari bedanya adalah 3 dan nilai untuk Suku ke-8 adalah 21 (A)

3. Misalkan diketahui nilai dari suku ke-16 pada suatu deret arimatika adalah 34 dengan  beda nya adalah 3, maka  hitnglah U1 nya?

A. 6

B. 7

C. 10

D. 4

E. 12

Penyelesaiannya :

Diketahui :

U16 = 34

b = 3

n = 16

Ditanya : Nilai U1 ?

Jawaban :

Un = a + (n-1) b

U16 = a + (16-1) 3

34 = a + (15).3

34 = a + 30

a = 34 – 30

a = 4

Jadi nilai dari U1 Pada soal tersebut adalah 4. (D)

4. HitungLah jumlah nilai dari suku ke-5 (S5) dari deret aritmatika berikut ini : 4, 8, 16, 24, ….?

A. 32

B. 60

C. 87

D. 98

E. 120

Penyelesaiannya :

Diketahui :

a = 4

b = 8 – 4 = 4

n = 5

Ditanya : Jumlah pada suku ke-5 (S5) ?

Jawaban :

Un = a + (n-1) b

Un = 4 + (5-1)4

Un = 4 + 16

Un = 20

Sn = 1/2 n ( a + Un )

S5 = 1/2 .5 (4 +20)

S5 = 5/2 (24)

S5 = 60

Jadi jumlah nilai pada suku ke-5 dari deret aritmatika tersebut adalah : 60. (B)

5. HitungLah jumlah nilai dari suku ke-8 (S8) dari deret aritmatika berikut ini : 5, 10, 15, 20, ….?

A. 32

B. 180

C. 187

D. 98

E. 20

Penyelesaiannya :

Diketahui :

a = 5

b = 10 – 5 = 5

n = 8

Ditanya : Jumlah pada suku ke-8 (S8) ?

Jawaban :

Un = a + (n-1) b

Un = 5 + (8-1)5

Un = 5 + 35

Un = 40

Sn = 1/2 n ( a + Un )

S8 = 1/2 .8 (5 +40)

S8 = 8/2 (45)

S8 = 180

Jadi jumlah nilai pada suku ke-8 dari deret aritmatika tersebut adalah : 180. (B)

6. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + Un adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 

7. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui 

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan  dan .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa  sehingga  dan  dapat ditulis menjadi 

 . . .(i)


 . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36   –
-3b = -12

b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

        a= 24 – 8

        a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari 

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

8.  Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?

    Jawab:

    Dik :

    deret : 3,7 , 11, 15, ...

    Ditanya : b dan U7 ?

    Penyelesaian :

    b = 7-3 = 11-7 = 4

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (7-1) 4

          = 3 + (6).4

          = 3 + 24

          = 27

    Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.

9. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka  cari nilai dari suku pertamanya ?

    Jawab :

    Dik :

    U15 = 32

    b = 2

    n = 15

    Ditanya : a ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

    U15 = a + (15-1) 2

    32 = a + (14).2

    32 = a + 28

    a = 32 - 28

    a = 4

    Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

10.  Hitung jumlah dari suku ke-5 (S5) dari deret berikut : 3, 4, 5, 6, ....?

    Jawab :

    Dik :

    a = 3

    b = 4-3 = 5-4 = 1

    n = 5

    Ditanya : Jumlah suku ke-5 (S5) ?

    Penyelesaian :

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (5-1)1

          = 3 + 4

          = 7

    Sn = 1/2 n ( a + Un )

    S5 = 1/2 .5 (3 +7)

         = 5/2 (10)

         = 25

    Jadi jumlah suku ke-5 dari deret tersebut : 25 .

Daftar Pustaka

- https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika#:~:text=Sedangkan%20untuk%20pengertian%20dari%20Deret,dapat%20dihitung%20dengan%20rumus%20berikut.

- https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-8-barisan-dan-deret-aritmatika-rumus-un-sn-dan-rumus-cepat

- https://soalkimia.com/soal-barisan-dan-deret-aritmatika/

- https://saintif.com/deret-aritmatika/

- https://rumus.co.id/contoh-soal-deret-aritmatika/

- https://smartinyourhand.blogspot.com/2012/05/contoh-soal-deret-aritmatika.html 

komposisi 2,3,4 transformasi (gabungan translasi, refleksi, rotasi, dilatasi) 1 balok

 Assalamualaikum Wr Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

komposisi 2,3,4 transformasi (gabungan translasi, refleksi, rotasi, dilatasi) 1 balok

Komentar acara peringatan Hari Dokter Nasional dan Hari Sumpah Pemuda :

menurut saya acara tersebut walaupun dilaksanakan secara virtual tetapi anak anak masih tetap semangat dalam menyimak. selain itu, acara ini dibuat untuk mengapresiasikan ide ide kreatif anak anak dimasa pandemi berupa tiktok, kreasi tari, dll. dan diadakan acara yang lain serta juga ditambahnya lagi dengan lomba lomba acara ini di ikuti oleh peserta didik dari jenjang SD sampai SMA/SMK.

Soal Transformasi dan Penyelesaiannya

 Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (18)

Kelas : XI IPS 2

Soal Transformasi dan Penyelesaiannya

1. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis x = 10

b) Terhadap garis y = 8

Pembahasan

Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k

a) Terhadap garis x = 10

           x = h

(a, b) ----------> (2h − a,  b)

           x = h

(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3,  5) = (17,  5)

b) Terhadap garis y = 8

           y = k

(a, b) ----------> (a, 2k − b)

            y = k

(3, 5) ----------> ( 3,  2(8) − 5) = (3,  11)

2. a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari

titik A (5, 10) oleh translasi                

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan

Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi  

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

3. Bayangan dari garis 2x - 3y + 5 = 0 oleh translasi (-3, 1) adalah ...

Pembahasan  

(x - 3, y + 1) = (x', y')

x - 3 = x' ⇒ x = x' + 3

y + 1 = y' ⇒ y = y' - 1

Substitusikan ke

2x - 3y + 5 = 0

2(x' + 3) - 3(y' - 1) + 5 = 0

2x' + 6 - 3y' + 3 + 5 = 0

2x' - 3y' + 14 = 0

Jadi bayangan dari 2x - 3y + 5 = 0 adalah 2x - 3y + 14 = 0

4. Tentukan bayangan garis 2x-y=5 apabila dicerminkan terhadap garis berikut !

(a) x=-1

(b) y=-x

Pembahasan 

a)

(x,y) di cermin terhadap garis x = a

x' = 2a - x

y' = y

(x,y) dicerminkan  garis x = - 1

x' = 2(-1) + x --> x = x' +2

y' = y

sub ke garis 2x - y = 5

2(x' +2) - y' = 5

2x' + 4 - y' = 5

2x - y = 1

b) (x,y) dicerminkan ke garis y = - x --> banyangan ( -y, - x)

x  = -y'

y = - x'

sub ke 2x - y = 5 --> 2(-y') - (-x') = 5

 -2y' + x' = 5

atau 

x - 2y = 5

5. Titik P(3,1) dirotasikan terhadap titik O(0,0) sejauh 90° berlawanan arah putaran jam . Bayangan titik P adalah

Pembahasan

x' = x · cos α + y · - sin α

y' = x · sin α + y · cos α

Pada soal titik P memiliki koordinat ( 3 , 1 )

x' = 3 · cos 90 + 1 · - sin 90

x' = 3 · 0 + 1 · - 1

x' = 0 + -1

x' = -1

y' = 3 · sin 90 + 1 · cos 90

y' = 3 · 1 + 1 · 0

y' = 3 + 0

y' = 3

Koordinat hasil rotasi titik P sejauh 90° berlawanan jarum jam adalah P' ( -1 , 3 )

6. Bayangan garis 3x - 5 y + 8 = 0 setelah diputar sejauh 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat di titik O(0,0) adalah 

\

Pembahasan

3x - 5 y + 8 = 0

diputar sejauh 90° berlawanan arah jarum jam, maka

x' = - y

y = -x'

y' = x

x = y'

3x - 5 y + 8 = 0

3y' - 5 ( -x') + 8 = 0

3y' + 5x' + 8 = 0

3y + 5x + 8 = 0

Jadi bayangan garis 3x - 5 y + 8 = 0 setelah diputar sejauh 90° berlawanan arah adalah 3y + 5x + 8 = 0

7.  Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan

P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)

karena dilatasi [0,3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut π/2 adalah…

Pembahasan :

dilatasi [0,3] :

[O,3k] : P(x,y) → P ‘(3x, 3y)

Sehingga :

P(x,y) → P” (-3y, 3x)

P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)

P(-1,2) → P” (-6,-3)

Q(3,2) → Q” (-6,9)

R (3,-1) → R” (3,9)

S(-1,-1) → S” (3,-3)

Buat sketsa gambarnya:

Sehingga luas transformasinya adalah : Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas

8. Tentukan bayangan titik A(-3,4) jika direfleksikan terhadap sumbu x

Pembahasan

A(-3, 4)

x = -3

y = 4

dicerminkan terhadap sumbu x

x' = x = -3

y' = -y = -4

Bayangan titik A adalah A'(-3, -4)

9. Tentukan bayangan titik H (2, -1) yang di dilatasi dengan pusat p (0, 3) dan faktor skala -2

Pembahasan 

Maka, bayangan yang akan dihasilkan adalah :

H' = 

H' = 

H' = 

H' = 

Dengan demikian, bayangan titik H(2 , -1) yang didilatasi dengan pusat P(0 , 3) dan faktor skala -2 adalah H'(-4 , 11).

10. Bayangan garis 3x+4y-5 = 0 dilatasi dengan pusat (-2,1) dan faktor skala 2 adalah

Pembahasan