Pengalaman saat pembelajaran Matematika: November 2020

Minggu, 15 November 2020

PAS MATEMATIKA

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

24.

a. Nyatakan banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya dengan matriks

Banyaknya makanan disetorkan = A

A =

b. Nyatakan harga makanan dalam bentuk matriks

Harga makanan = B

B =

c. Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matriks

Perkalian Matriks A dan Matriks B

AB =

Kantin A: Rp. 55.000,00

Kantin B: Rp. 93.000,00

Kantin C: Rp. 100.000,00

d. Carilah determinan matriks dari banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya

|A| = (10 X 15 X 10) + (10 X 8 X 15) + (5 X 20 X 20) - (5 X 15 X 15) - (10 X 20 X 8) - (10 X 8 X 20)

|A| = -100 - 800 + 875

|A| = -15

25.

x + y = 16

3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:

Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.

26. Bayangan titik A(4, 6) karena refleksi terhadap garis y = 2, yang kemidian di lanjutkan dengan refleksi terhadap garis x = -1 adalah

Penyelesaian Soal

Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b) → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)

Jadi

-x = x' => x = -x'

-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah

(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1

-y' = 3x'² - 2x' - 1

y = -3x² + 2x + 1

28. Matriks refleksi y = x adalah:

Matriks rotasi 90° berlawanan jarum jam di pusat (0,0) adalah:

Menghasilkan komposisi transformasi:

Memberikan:

Yang mana:
x = -x'
y = y'
Substitusi ke persamaan yang akan menghasilkan:

29. Kita siapkan variabel-variabel x dan y sebagai variabel awal, x' dan y' sebagai variabel bayangan setelah pencerminan garis, dan x" serta y" sebagai variabel bayangan setelah translasi.
Kesimpulan

Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran

30. A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4

y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4

y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

31.

32. • refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

33.

34.

35.

36. Maka

U1,U2,U3,...

50.000, 55.000, 60.000,....

maka

a=50.000

b=5.000(beda per bulan)

yg ditanyakan=jumlah tabungan dlm 2 tahun, maka jumlah tabungan dalam 24 bulan

maka

Sn=n/2(a+Un)

cari Un dulu

Un=a+(n-1)b

U24 =50.000+(24-1)5.000

U24=50.000+23x5.000

U24=50.000 + 115.000

U24=165.000

lalu

Sn=n/2(a+Un)

S24=24/2(50.000+165.000)

S24=12(215.000)

S24=2.580.000

37.

38.

39.

40.

Sabtu, 14 November 2020

Pertumbuhan, Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Bunga Anuitas, Peluru Beserta Contoh Soal

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di bank. Terdapat dua jenis pertumbuhan, yaitu pertumbuhan eksponensial dan pertumbuhan linier.

Rumus pertumbuhan eksponensial :

Rumus pertumbuhan linear :

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat pertumbuhan
$n =$ banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

1. Banyaknya bakteri pada satu telapak tangan yang kotor meningkat 2% secara eksponensial setiap satu jam sekali. Saat ini, terdapat bakteri sebanyak 150.000 pada sebuah telapak tangan. Hitunglah banyaknya bakteri setelah satu jam kemudian!

Jawab:

$P_0 = 150.000$
$b = 2% = 0.02$
$n = 1$ jam

Banyaknya bakteri setelah satu jam:

$P_n = P_0 (1 + b)^n$
$P_1 = 150.000 (1 + 0.02)^1$
$P_1 = 150.000 (1.02)^1$
$P_1 = 153.000$ bakteri

2. Banyak penduduk kota A setiap tahun meningkat 2% secara eksponensial dari tahun sebelumnya. Tahun 2013 penduduk di kota A sebanyak 150.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2014 dan 2023!

Jawab:

Banyak penduduk pada tahun 2014 (artinya 1 tahun setelah 2013, maka n = 1):

Banyak penduduk pada tahun 2023 (n=2023-2013=10):

pertumbuhan

PELURUHAN

Peluruhan merupakan penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) di antaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga barang.

Rumus peluruhan linear:

$P_n = P_0 (1 - n_b)$

Rumus peluruhan eksponensial:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$

Dimana:
$P_n =$ nilai besaran setelah $n$ periode
$P_0 =$ nilai besaran di awal periode
$b =$ tingkat peluruhan
$n =$ banyaknya periode peluruhan

Contoh Soal

1. Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut sebanyak 5% dari ukuran sebelumnya setiap 6 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

$P_0 = 100 gram$
$b = 5% = 0.05$
$n = \frac{24}{6} = 4$

Ukuran bahan radioaktif setelah 1 hari:

$P_n = P_0 (1 - b)^n$
$P_4 = 100 (1 - 0.05)^4$
$P_4 = 100 (0.95)^4$
$P_4 = 100 (0.8145)$
$P_4 = 81.45$ gram

2. Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 125 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut 12% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam secara eksponensial. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 3 hari!

Jawab:

Peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehari peluruhan terjadi 2 kali, 3 hari = 72 jam terjadi 6 kali peluruhan.

BUNGA

Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya :

BUNGA TUNGGAL

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode :

Rumus besarnya modal pada akhir periode :

Dimana:

$B =$ bunga
$M_0 =$ modal awal
$M_t =$ modal pada akhir periode – $t$
$t =$ periode
$r =$ tingkat suku bunga (persentase)

Contoh Soal

1. Koperasi Simpan Pinjam memberikan pinjaman kepada anggotanya dengan bunga 2% per bulan. Jika Adi meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 bulan, tentukan besar bunga setiap bulannya dan besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang telah ditentukan!

Jawab:
$M_0 = Rp. 500.000,00$
$r = 2%$
$t = 2$ bulan

Maka, besar bunga setiap bulannya adalah:

$B = M_0 \times t \times r$
$B = Rp. 500.000,00 \times 1 \times 2%$
$B = Rp. 10.000,00$

Besar uang yang harus dikembalikan setelah 2 bulan:

$M_t = M_0 (1 + t \times r)$
$M_2 = Rp. 500.000,00 (1 + 2 \times 2%)$
$M_2 = Rp. 500.000,00 (1.04)$
$M_2 = Rp. 520.000,00$

2. Rina mempunyai uang sebesar Rp.2.500.00,00 uang itu beliau tabung di Bank dengan bunga 11% pertahun. Setelah 2 tahun Rina mengambil uangnya, berapa uang yang diterima Rina?

Jawab :

Modal = Rp.2.500.00,00

Suku bunga = 11 %

Lamanya = 2 tahun

B = 2.500.00 x 11 % x 2 = 550.000

Jumlah uang = 2.500.000 + 550.000 = 3050.000

Jadi, jumlah uang yang diterima sehabis 2 tahun ialah Rp.3.050.000,00

BUNGA MAJEMUK

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. Bunga semacam ini biasanya disebut bung ayang dapat berbunga. Perhitungan dalam bunga majemuk menggunakan perhitungan deret geometri.

Rumus untuk besar modal pada periode ke- $t$ dengan bunga majemuk ialah:

$M_t = M_0 (1 + i)^t$

Dimana:
$M_t =$ besar modal pada periode ke- $t$
$M_0 =$ modal awal
$i =$ tingkat suku bunga
$t =$ periode

Contoh Soal

1. Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp. 5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?

Jawab:

$M_0 = Rp. 5.000.000,00$
$i = 3% = 0.03$
$t = 12$ bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah:

$M_t = M_0 (1 + i)^t$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1.42576)$
$M_{12} = Rp. 5.000.000,00 (1 + 0.03)^{12}$
$M_{12} = Rp. 7.128.800,00$

2. Tentukan bunga majemuk pada kondisi seperti berikut = modal Rp 1.000,00 selama 3 tahun dengan bunga majemuk 5%.

Jawaban:

Diketahui Modal = 1.000.000 dan bunga majemuk 5% pertahun

Maka Bunga yang didapatkan setelah 3 tahun adalah :

Bunga tahun 1 = 5% x 1.000.000 = 50.000

Bunga tahun 2 = 5% x 1.050.000 = 52.500

Bunga tahun 3 = 5% x 1.102.000 = 55.125

Total bunga selama 3 tahun adalah 157.625

ANUITAS

Anuitas adalah sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah dan jangka waktu yang tetap (tertentu). Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka terdapat tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan, yaitu:

1. Besar pinjaman

2. Besar bunga

3. Jangka waktu dan jumlah periode pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga:

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar $M_0$ mendapat bunga sebesar $b$ per bulan dan anuitas sebesar $A$ , maka dapat ditentukan:

Besar bunga pada akhir periode ke- $n$ :

$B_n = (1 + b)^{n-1} (b \times M - A) + A$

Besar angsuran pada akhir periode ke- $n$ :

$A_n = (1 + b)^{n-1} (A - bM)$

Sisa hutang pada akhir periode ke- $n$ :

$M_n = (1 + b)^n (M - \frac{A}{b}) + \frac{A}{b}$

Contoh Soal :

1. Sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar dari angsuran Rp. 85.000, dan bunganya sebesar Rp. 315.000,00. Maka tentukanlah berapa jumlah dari anuitas tersebut ?

Jawab :

Diketahui :

An = Rp 85.000

Bn = Rp 315.000

Ditanya = AN .….. ?

Dijawab :

AN = An + Bn

AN = Rp 85.000 + Rp 315.000

AN = Rp 400.000

Jadi, jumlah dari nilai anuitas dari soal di atas ialah = Rp 400.000.

2. Sebuah pinjaman akan segera di lunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besar anuitas nya Rp 600.000,00. Maka tentukanlah berapa angsuran ke-5 jika bunga ke-5 nya ialah sebesar Rp 415.000,00 ?

Jawab:

Diketahui :

AN = Rp 600.000

Bn = Rp 415.000

Ditanya : An ..….. ?

Dijawab :

AN = An + Bn

Rp 600.000 = An + Rp 415.000

An = Rp 600.000 – Rp 415.000

An = Rp 185.000

Jadi, jumlah nilai dari angsurannya ialah sebesar = Rp 185.000.

3. Hutang sebesar Rp 1.000.000,00 akan segera di lunasi dengan anuitas sebesar Rp 125.000,00 per bulan nya, dengan suku bunganya sekitar 2% sebulan. Maka hitunglah berapa besarnya angsuran ke-5 ?

Jawab :

Diketahui :

M = Rp 1.000.000,00.

A = 125.000; i = 2% = 0,02.

Ditanya : a5 ..… ?

Dijawab :

An = ( A – iM ) ( 1 + i ) n – 1.

A5 = ( Rp 125.000 – 0,02 x Rp 1.000.000 ( 1,02 ) 5 – 1.

= ( Rp 125.000 – Rp 20.000) ( 1,02 ) 4.

= Rp 105.000 ( 1,08243216 ).

= Rp 113,655,3768.

= Rp 113.655,38.