Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan Dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan Dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

.

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

maka luas    adalah:

.

B. Volume Benda Putar

.

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

Contoh Soal 

1. Luas daerah yang diarsir di bawah adalah ...


PEMBAHASAN:

Ketika y = 1, maka:
y = 2 cos x
1 = 2 cos x
½ = cos x
x = 60
x = p/3
Luas daerah yang diarsir = L1 + L2
                                     
JAWABAN: C

2. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan dengan rumus ⋯⋅
A. L=∫3−2(x2−x+6) dx
B. L=∫3−2(−x2+x+6) dx
C. L=∫3−2(x2−x−6) dx
D. L=∫−32(x2−x+6) dx
E. L=∫−32(−x2+x+6) dx

Pembahasan : 

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2=x+6& \\ x^2-x-6& =0\\ (x-3)(x+2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=3$ atau $x=-2$.
Untuk $x=3$, diperoleh $y=9$.
Untuk $x=-2$, diperoleh $y=4$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(3,9)$ dan $(-2,4)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x=-2$ sebagai batas bawah dan $x=3$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+6$ berada di atas kurva $y=x^2$ pada interval $-2<x<3$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$\begin{array}{cc}A& {\int }_{-2}^3(y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^3\left(\right(x+6)-(x^2\left)\right)\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^3(-x^2+x+6)\text{d}x\end{array}$
(Jawaban B)

3. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut dapat dinyatakan oleh $\cdots \cdot$
A. ${\int }_0^1(x^2+2x+1)\text{d}x+{\int }_1^5(5-x)\text{d}x$
B. ${\int }_{-1}^0(x^2+2x+1)\text{d}x+{\int }_0^5(5-x)\text{d}x$
C. ${\int }_{-1}^1(x^2+2x+1)\text{d}x+{\int }_1^5(5-x)\text{d}x$
D. ${\int }_{-1}^1(x^2+2x+1)\text{d}x+{\int }_0^5(5-x)\text{d}x$
E. ${\int }_0^1(5-x)\text{d}x+{\int }_1^5(x^2+2x+1)\text{d}x$

Pembahasan :

Untuk menghitung luas daerah yang diarsir dengan menggunakan integral, kita harus partisi daerahnya terlebih dahulu dengan garis tegak $x=1$ sebagai pembatas.Pada selang $(-1,1)$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=x^2+2x+1$ dan dasarnya menyentuh sumbu-$X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $(-1,1)$ dapat dihitung dengan integral tentu:
$A_1={\int }_{-1}^1(x^2+2x+1)\text{d}x$
Pada selang $(1,5)$, dibuat batang tegak dengan puncaknya menyentuh kurva $y=5-x$ dan dasarnya menyentuh sumbu-$X$. Ini artinya luas daerah yang dibatasi oleh keduanya pada selang $(1,5)$ dapat dihitung dengan integral tentu:
$A_2={\int }_1^5(5-x)\text{d}x$
Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan dengan rumus
$$A_1+A_2={\int }_{-1}^1(x^2+2x+1)\text{d}x+{\int }_1^5(5-x)\text{d}x$$(Jawaban C)

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2|x|$ adalah $\cdots \cdot$
A. ${\int }_0^1(-x^2-2x+3)\text{d}x$
B. $2{\int }_{-1}^0(-x^2-2x+3)\text{d}x$
C. ${\int }_{-1}^1(-x^2+2x+3)\text{d}x$
D. ${\int }_0^1(-x^2+2x+3)\text{d}x$
E. $2{\int }_{-1}^0(-x^2+2x+3)\text{d}x$

Pembahasan : 

Pertama, gambarkan dulu sketsa grafik kedua fungsi pada bidang koordinat.
Kurva $y=3-x^2$ berbentuk parabola, sedangkan kurva $y=2|x|$ berbentuk seperti huruf V yang terdiri dari $2$ bagian, yaitu $y=2x$ untuk $x\ge 0$ dan $y=-2x$ untuk $x<0$.
Kedua, arsir daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut. Kita partisi daerahnya dengan pembatas sumbu-$Y$. Daerah $A_1$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=-2x$, sedangkan daerah $A_2$ merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva $y=3-x^2$ dan $y=2x$.Jika diperhatikan, ternyata luas $A_1$ sama dengan luas $A_2$ karena kedua kurva tersebut simetris terhadap sumbu-$Y$. Jadi, dapat ditulis $A_1=A_2$ sehingga luas daerah yang diarsir dapat dinyatakan oleh $2A_1$ (pilih salah satu saja).
Pada selang $(-1,0)$, kurva $y=3-x^2$ selalu berada di atas kurva $y=-2x$ sehingga integral tentu yang menyatakan luas $A_1$ adalah
$\begin{array}{cc}{A}_1& ={\int }_{-1}^0(y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})\text{d}x\\ & ={\int }_{-1}^0\left(\right(3-x^2)-(-2x\left)\right)\text{d}x\\ & ={\int }_{-1}^0(-x^2+2x+3)\text{d}x\end{array}$
Luas daerah yang diarsir adalah
$2A_1=2{\int }_{-1}^0(-x^2+2x+3)\text{d}x$
(Jawaban E)

5. Luas daerah yang dibatasi garis $y=\frac{1}{2}$ dan kurva $y=\frac{x^2}{1+x^2}$ dapat dinyatakan sebagai integral tentu, yaitu $\cdots \cdot$
A. ${\int }_0^1\frac{x^2-1}{x^2+1}\text{d}x$
B. $2{\int }_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\text{d}x$
C. ${\int }_0^1\frac{1-x^2}{1+x^2}\text{d}x$
D. $2{\int }_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\text{d}x$
E. $2{\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}\text{d}x$

Pembahasan : 

Pertama, kita akan menentukan titik potong kedua kurva yang akan menjadi batas integralnya. Caranya adalah dengan menyamakan kedua fungsi.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ \frac{x^2}{x^2+1}& =\frac{1}{2}\\ 2x^2& =x^2+1\\ x^2& =1\\ x& =\pm 1\end{array}$
Jadi, batas integralnya adalah $-1<x<1$.
Posisi kurva $y=\frac{x^2}{1+x^2}$ terhadap $y=\frac{1}{2}$ pada selang $(-1,1)$ dapat ditentukan dengan menggunakan uji titik. Misalnya kita pilih $x=0$, sehingga
$y=\frac{0^2}{1+0^2}=\frac{0}{1}=0<\frac{1}{2}$. Ini artinya, kurva $y=\frac{1}{2}$ selalu berada di atas kurva $y=\frac{x^2}{1+x^2}$ pada interval tersebut.
Dengan demikian, integral tentu yang menyatakan luas daerah yang dimaksud adalah
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{1+x^2})\text{d}x& ={\int }_{-1}^1\left(\frac{(1+x^2)-2x^2}{2(1+x^2)}\right)\text{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\text{d}x\end{array}$$Karena $f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{1+x^2}$ merupakan fungsi genap sebab berlaku $f\left(x\right)=f(-x)$, maka berlaku rumus kesimetrian integral bahwa luas daerah dari selang $(-1,0)$ sama dengan luas daerah dari selang $(0,1)$. Untuk itu, integral di atas dapat ditulis menjadi
$$2\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^1\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\text{d}x={\int }_0^1\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\text{d}x$$(Jawaban C) 

6. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x-y^2+1=0$, $-1\le x\le 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\frac{1}{2}\pi$                    D. $12\frac{1}{2}\pi$
B. $9\frac{1}{2}\pi$                    E. $13\frac{1}{2}\pi$
C. $11\frac{1}{2}\pi$

Pembahasan : 

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x=-1$ dan $x=4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1,4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^4{y}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^4(x+1)\text{d}x\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{x}^2+x]}_{-1}^4\\ & =\pi [\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2+4)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2+(-1))]\\ & =\pi \left[\right(8+4)-(\frac{1}{2}-1)]\\ & =\pi (12+\frac{1}{2})=12\frac{1}{2}\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $12\frac{1}{2}\pi$ satuan volume.
(Jawaban D)

7. Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\frac{2}{3}\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\frac{1}{3}\pi$
C. $3\frac{2}{3}\pi$

Pembahasan : 

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2x\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=2$.
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0,2]$.
[diputar terhadap sumbu-$Y$]
$y=x^2\iff x^2=y$
$y=2x\iff x=\frac{y}{2}\iff x^2=\frac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_1^2-x_2^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{y^2}{4})\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{12}{y}^3]}_0^4\\ & =\pi \left[\frac{1}{2}\right(4^2-0^2)-\frac{1}{12}(4^3-0^3\left)\right]\\ & =\pi [8-5\frac{1}{3}]=2\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $2\frac{2}{3}$ satuan volume.
(Jawaban D)

8. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi kurva $y=4x-x^2$ dan $y=-2x+8$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $32\pi$                 C. $16\pi$               E. $4\pi$    
B. $24\pi$                D. $8\pi$      

Pembahasan : 

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y=4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, maka kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu-$X.$
$$\begin{array}{cc}0& =4x-x^2\\ 0& =x(4-x)\end{array}$$Kurva memotong sumbu-$X$ di $(0,0)$ dan $(4,0).$
Absis titik puncak di $x_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-1)}=2.$ Substitusi, sehingga dihasilkan $y_p=4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2,4).$
Analisis: $y=-2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0,8)$ dan $(4,0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4.$, ditulis ${\int }_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y=4x-x^2$:
$$\begin{array}{cc}y& =4x-x^2\\ y-4& =4x-x^2-4\\ 4-y& =x^2-4x+4\\ 4-y& =(x-2{)}^2\\ \sqrt{4-y}& =x-2\\ \sqrt{4-y}+2& =x\\ (4-y)+4(4-y)+4& =x^2\\ 8-y+4(4-y)& =x^2\end{array}$$Kurva $y=-2x+8$:
$$\begin{array}{cc}y& =-2x+8\\ y-8& =-2x\\ \frac{8-y}{2}& =x\\ \frac{64-16y+y^2}{4}& =x^2\end{array}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{kanan}}-y_{\text{kiri}})\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4((8-y+4(4-y\left)\right)-\left(\frac{64-16y+y^2}{4}\right))\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4\left(\right(32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2\left)\right)\\ & =\frac{1}{4}\pi {\int }_0^4(-32+12y-y^2+16\sqrt{4-y})\text{d}y\\ & =\frac{1}{4}\pi {[-32y+6y^2-\frac{1}{3}{y}^3+16\cdot (-\frac{2}{3})(4-y{)}^{3/2}]}_0^4\\ & =\frac{1}{4}\pi [-128+96-\frac{64}{3}+\frac{256}{3}]\\ & =\frac{1}{4}\pi (-32+64)\\ & =8\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $8\pi$
(Jawaban D)

9. Daerah $D$ terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola $y=x^2$, parabola $y=4x^2$, dan garis $y=4$. Volume benda putar yang terjadi bila $D$ diputar terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3\pi$                  C. $6\pi$                  E. $20\pi$
B. $4\pi$                  D. $8\pi$

Pembahasan : 

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$ sejauh ${360}^{\circ }$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0,4]$.
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap ${360}^{\circ }$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{cccc}{x}^2& =y& & \left(x\text{kanan}\right)\\ 4x^2& =y\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}y& & \left(x\text{kiri}\right)\end{array}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{1}{4}y)\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\int }_0^{4}y\text{d}y\\ & =\frac{3}{4}\pi {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =\frac{3}{8}\pi (4^2-0^2)\\ & =6\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $6\pi$ satuan volume.
(Jawaban C)

10. Suatu daerah dibatasi oleh kurva $y^2=10x$, $y^2=4x$, dan $x=4$ diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$X$. Volume benda putar yang terjadi adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $80\pi$                 C. $32\pi$                   E. $18\pi$
B. $48\pi$                 D. $24\pi$

Pembahasan : 

Pertama, kita sketsakan dulu kurvanya masing-masing di sistem koordinat sebagai berikut.
Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut diarsir pada gambar di atas. Bila daerah itu diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka bagiannya akan saling timpang tindih ketika memasuki sudut ${180}^{\circ }$. Karena itu, kita hanya perlu mencari volume benda putar oleh salah satu dari dua daerah yang sama luasnya itu. Misal kita pilih daerah yang atas.
Daerah dibatasi pada interval $[0,4]$. Volume benda putar terhadap sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2)\text{d}x\\ & =\pi {\int }_0^4(10x-4x)\text{d}x\\ & =6\pi {\int }_0^{4}x\text{d}x\\ & =6\pi {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4\\ & =6\pi \left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2)-0\\ & =6\pi \left(8\right)=48\pi \end{array}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $48\pi$ satuan volume.
(Jawaban B)

Daftar Pustaka : 

- https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2015/08/30/insyaallah-25/

- https://www.ajarhitung.com/2017/02/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_22.html

- https://mathcyber1997.com/luas-daerah-integral/

- https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-volume-benda-putar-menggunakan-integral/