Pengalaman saat pembelajaran Matematika: Barisan dan Deret Geometri beserta contoh soal

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

BARISAN GEOMETRI

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

$\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r$

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

$r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}$

Contoh Soal Barisan Geometri

1. Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :

a. 128

b. 192

c. 64

d. 190

e. 72

Pembahasan :

a = 3

r = 2

Un = ar(n-1)

⇒ 3.2(7-1)

⇒ 192 (B)

2. Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah :

a. 160

b. 320

c. 510

d. 640

e. 720

Pembahasan :

a = 5

Un = 5120

U_t = √a . U_n

U_t = √5 . 5120 = √25600 = 160 (A)

3. Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?

a. 27

b. 81

c. 243

d. 9

e. 75

Pembahasan :

a = 3

r = 3

n = 5

U_t = √a . rⁿ = √3 . 3⁵=729 = 27 (A)

4. Diketahui suku ke-2 dan ke-4 barisan geometri berturut-turut adalah 12 dan 27. Jika nilai r > 0, tentukan nilai dari suku ke-3..

a. 6

b. 10

c. 18

d. 20

e. 12

Pembahasan :

Diketahui:

U₂ = 12

U₄ = 27

r > 0

Ditanya: U₃ =…?

Pembahasan:

Nyatakan suku ke-2 dan ke-4 dalam notasi matematis.

Lakukan pembagian antara kedua suku seperti berikut.

Setelah rasio diketahui, tentukan suku ke-3nya.

Jadi, nilai dari suku ke-3 adalah 18 (C)

5. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 42, 24, 12,….

a. 3.23-n

b. 3.43-n

c. 3.33-n

d. 3.53-n

e. 3.73-n

Pembahasan :

Diketahui :

a = 42

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1

Un = 42.(1/2)n-1

Un = 42.(2-1)1-n

Un = 3.4. (2)1-n

U7 = 3.22 (2)1-n

U7 = 3.23-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.23-n (A)

6. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut !

Diketahui :

= r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (rasionya)

a = 1/8

Jawab :

Un = arn – 1

Un = 1/8 . 2 (10 – 1) = 1/8 . 29 = 2 – 3 . 29 = 26 = 64

Jadi, suku Un yang ke 10 tersebut adalah = 64

7. Ada Sebuah amoeba membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit,berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika awalnya terdapat hanya 2 amoeba .cari dan hitunglah suku Un jumlah amoeba tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 2

r = 2

n = (1 jam/6 menit) + 1 = 11

Jawab :

Un = arn – 1

Un = 2 . 2 11 – 1 = 210 = 1024 buah amoeba

Jadi, suku Un untuk mencari amoeba tersebut adalah = 1024 buah amoeba

8. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 3, 6, 2,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 3

r = 2

Jawab :

Un = ar(n-1)

Un = 3.2(7-1)

U7 = 3.2(7-1)

U7 = 192

Jadi, suku Un yang ke 17 tersebut adalah = 192

9. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 48, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 48

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1

Un = 48.(1/2)n-1

Un = 48.(2-1)1-n

Un = 3.16. (2)1-n

U7 = 3.24 (2)1-n

U7 = 3.25-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.25-n

10. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 44, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 44

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1

Un = 44.(1/2)n-1

Un = 44.(2-1)1-n

Un = 3.8. (2)1-n

U7 = 3.23 (2)1-n

U7 = 3.24-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.24-n

DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n$

Atau sebagai:

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}$

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

$U_n = S_n - S_{(n - 1)}$

Contoh Soal Deret Geometri

1. Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga 4 + 8/3 + 16/9 + 32/27 + … !

a. 3

b. 4

c. 6

d. 10

e. 12

Pembahasan :

Deret diatas merupakan deret geometri tak hingga

U1 = 4

b = 8/3 : 4

b = 8/3 × 1/4

b = 8/12

b = 2/3

Sn = U1/(1-r)

Sn = 4/(1-2/3)

Sn = 4 : 1/3

Sn = 4 × 3/1

Sn = 12

Jadi jumlah deret tersebut adalah 12 (E)

2. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 11,25 dan suku pertamanya adalah 4,5. Hitunglah rasio deret tersebut !

a. 0,1

b. 0,3

c. 0,4

d. 0,6

e. 0,8

Pembahasan :

U1 = 4,5 dan Sn = 11,25

Sn = U1/(1-r)

11,25 = 4,5 / (1-r)

11,25 (1-r) = 4,5

11,25 – 11,25r = 4,5

– 11,25r = 4,5 – 11,25

– 11,25r = -6,75

r = -6,75/-11,25

r = 0,6

Jadi, rasio deret tersebut adalah 0,6 (D)

3. Dalam sebuah gedung pertemuan terdapat 25 kursi pada baris pertama, dan setiap baris berikutnya memuat 3 kursi lebih banyak dari baris dimukanya. Tentukan banyaknya kursi dalam gedung tersebut jika terdapat 15 baris kursi.

a. 615

b. 630

c. 645

d. 680

e. 690

Pembahasan :

Deretnya adalah 25 + 28 + 31 + 34 + …

U1 = 25, n = 5, b = 28-25 = 3

Karena suku terakhir belum diketahui, mak kita gunakan rumus berikut ini.

Sn = ½n[2U1 + (n-1)b]

Sn = ½×5 [2 × 25 + (15-1) 3]

Sn = 7,5(50 + 14 × 3)

Sn = 7,5(50 + 42)

Sn = 690

Jadi, banyaknya kursi dalam gedung tersebut adalah 690 buah (E)

4. Setiap tamu yang datang ke tempat acara syukuran, berjabat tangan dengan tuan rumah dan tamu-tamu lain yang datang terlebih dahulu. Tentukan banyaknya jabat tangan jika banyak tamu adalah 45 orang...

a. 1035

b. 1040

c. 1045

d. 1050

e. 1055

Pembahasan :

Untuk memudahkan penyelesaian, kita akan buat hubungan antara banyak orang dengan banyak jabat tangan.

Banyak orang Banyak jabat tangan

2 1

3 1+2

4 1+2+3

5 1+2+3+4

6 1+2+3+4+5

: :

46 1+2+3+4+5+ … +45

Dari data diatas, jika banyak tamu 45 orang, maka banyak orang = 46 dan banyak jabat tangan adalah 1+2+3+4+5+…+45.

Kita gunakan rumus jumlah suku pada deret aritmatika (deret hitung), yaitu :

U1 = 1, b = 1, n = 45 dan Un = 45

Sn = ½n(U1+Un)

Sn = ½×45×(1+45)

Sn = ½×45×46

Sn = 45×23

Sn = 1.035

Jadi banyak jabat tangan adalah 1.035 kali (A)

5. Seorang penjelajah mengendarai sepeda dengan kecepatan rata-rata 20 km pada 1 jam pertama. Pada 1 jam kedua, kecepatannya berkurang menjadi empat perlimanya. Demikian seterusnya, pada setiap jam kecepatannya berkurang empat perlima dari kecepatan pada jam sebelumnya. Tentukan jarak terjauh yang dapat ditempuh oleh penjelajah itu... km

a. 20

b. 40

c. 60

d. 80

e. 100

Pembahasan :

Soal tersebut berkaitan dengan deret geometri tak hingga.

U1 = 20 dan b = 4/5

Sn = U1/(1-r)

Sn = 20/(1-4/5)

Sn = 20 : 1/5

Sn = 20 x 5

Sn = 100

Jadi jarak terjauh yang dapat ditempuh oleh penjelajah tersebut adalah 100 km. (E)

6. Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan:

Diketahui:

a = 1

r = 2

Ditanya: $U_{5}=?$