Pengertian Turunan Dan Sifat-Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Turunan Fungsi Aljabar

Definisi Turunan

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Sifat Turunan banyak digunakan didalam kehidupan sehari-hari maupun dalam bidang ilmu lainnya. Dikarenakan setiap bidang ilmu pasti saling berhubungan atau dibutuhkan satu sama lain. Kegunaan yang sering kita ketahui yaitu untuk menghitung garis singgung kurva atau fungsi dan kecepatan sesaat. Ini juga digunakan untuk menentukan tingkat perkembangan suatu organisme biologi, laba marjinal tabungan, kepadatan kawat (fisika) dan kecepatan pemisahan (kimia). Tujuan dari semua yang disebutkan di atas adalah untuk mempunyai konsep yang sama, ialah konsep turunan.

Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai

turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai contoh penerapan turunan. 

Rumus Turunan

Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.

• f(x) = c, dengan c merupakan konstanta

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.

• f(x) = x

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.

• f(x) = axn

Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anxn – 1

• Penjumlahan fungsi:  h(x) = f(x) + g(x)

Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).

• Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x)

Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)

• Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x).

Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan fungsi.

Turunan Fungsi Aljabar

Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x) . v(x).

Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.

• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian

• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x

• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian yaitu:

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)/v(x). Turunan dari fungsi tersebut adalah

h’(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x))/v2(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.

• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian

• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x

• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Sifat-sifat turunan fungsi aljabar

Jika diketahui k suatu konstanta, u = u(x),  v = v(x) dan masing-masing mempunyai turunan u'(x) dan v'(x), maka berlaku:
1. f(x) = u + v,   maka f'(x) = u' + v'
2. f(x)= u - v,  maka f'(x) = u' - v'
3. f(x) = uv, maka f'(x) = u'v + uv'
4. f(x) = f(u), maka f'(x) = f'(u). u'
5. f(x) = u/v, maka f'(x) = (u'v - uv')/v2

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh :
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

1.    f(x) = x3 + x2

2.    f(x) = 4x2 + 5x

3.    f(x) = 3x5 + 4x3 – 7x2

4.    f(x) = 2x4 + 8x3 – x2– 9x + 1

5.    f(x) = x7 + 2x5 – 6x4– 9x2 + 11x

Jawaban :

1.    f’ (x) = 3x3-1 + 2x2-1

             = 3x2 + 2x

2.    f’(x) = 4.2x2-1 + 5x1-1

             = 8x + 5

3.    f’ (x) = 3.5x5-1 + 4.3x3-1– 7.2x2-1

             =15x4 + 12x2 – 14x

4.    f’ (x) = 2.4x4-1 + 8.3x3-1– 2x2-1 – 9

             = 8x3 + 24x2 – 2x – 9

5.    f ‘(x) = 7.x7-1 + 2.5x5-1– 6.4x4-1 – 9.2x2-1 + 11x1-1

        = 7x6 + 10x4 – 24x3– 18x + 11

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

1. Apabila 

$f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan : 

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$
(Jawaban E)

2. Jika :

$g\left(x\right)=\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
B. $-x^3+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$
C. $\frac{1}{x^2}+x^2-2$
D. $\frac{1}{x^2}+3x^2-2$
E. $\frac{1}{x^2}+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$

Pembahasan :

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cccc}g\left(x\right)& =\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}& & \\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}& & \\ g^{\prime }\left(x\right)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{1/2-1}& & \\ & =-x^{-2}+3x^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}{x}^{-1/2}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}& & \ast \end{array}$
Catatan: $\ast \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Jadi, hasil dari $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
(Jawaban A)

3. Diberikan 

$f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$. Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan :

Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$
(Jawaban C)

4. Diketahui 

$y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan :

Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$.
(Jawaban D)

5. Diketahui 

$f\left(x\right)=|x|$. Jika turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(999\right)=\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\frac{1}{999}$                E. $999$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan :

Diketahui $y=f\left(x\right)=|x|$.
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{array}{cc}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =2x\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{x}{y}=\frac{x}{|x|}\end{array}$.
Untuk $x=999$, diperoleh
$f^{\prime }\left(999\right)=\frac{999}{|999|}=1$
(Jawaban B)

6. Turunan pertama dari invers fungsi 

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$ adalah $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $-\frac{1}{2}$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $\frac{1}{2}$

                                                                                                                                                   Pembahasan :

 Diketahui 

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f\left(x\right)=y$.
$\begin{array}{cc}y& =\frac{x-1}{2}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}\left(y\right)\\ 2x+1& =f^{-1}\left(x\right)\end{array}$
Jadi, invers fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=2x+1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=2$

(Jawaban E)      

7. Turunan pertama dari f(x) = (2 - 6x)³ adalah f'(x) = . . . . .
A. -18(2 - 6x)²
B. -½(2 - 6x)²
C. 3(2 - 6x)²
D. 18(2 - 6x)²
E. ½(2 - 6x)²

Pembahasan :

Misalnya: u(x) = 2 - 6x, maka u'(x) = -6
f(x) = (u(x))³
f'(x) = 3(u(x))² . u'(x)
        = 3(2 - 6x)² . (-6)
        = -18(2 - 6x)² --------> Jawaban: A

8. Turunan dari y = (1 - x)² (2x + 3) adalah. . . . .

A. (1 - x)(3x + 2)

B. (x - 1)(3x + 2)

C. 2(1 + x)(3x + 2)

D. 2(x - 1)(3x + 2)

E. 2(1 - x)(3x + 2)

Pembahasan :

y = (1 - x)² (2x + 3) 
Misalkan: 
U = (1 - x)² maka U' = 2(1 - x).(-1) = -2(1 - x)
V = 2x + 3  maka V' = 2
y = U . V
y' = U'.V + U.V'
    = -2(1 - x).(2x + 3) + (1 - x)².2
    = -2(1 - x) [(2x + 3) - (1 - x)
    = 2(x - 1)(3x + 2) --------> Jawaban: D

9. Diketahui: F(x) = (3x - 1)/(1 + 2x), f(x) adalah turunan dari F(x), nilai dari f(2) = . . . . .

A. 1     B. 19/25     C. 23/25     D. 1/5     E. -19/25

Pembahasan : 

F(x) = (3x - 1)/(1 + 2x)

Misalkan:

U = 3x - 1, maka U' = 3

V = 1 + 2x, maka V' = 2

f(x) = [U'V - UV'] / V²

       = [3(1 + 2x) - (3x - 1).2] / (1 + 2x)²

       = [ 3 + 6x - 6x + 2] / (1 + 2x)²

       = 5 / (1 + 2x)²

f(2) = 5 / (1 + 2(2))²

       = 5/25

       = 1/5 -------------> Jawaban: D

10. Apabila f(x) = x² - (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .

A. x - x²     B. x + x²     C. 2x - x-2 + 1     D. 2x - x2 - 1     E. 2x + x-2 

Pembahasan:

f(x)  = x2 - (1/x) + 1

        = x2 - x-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x-1-1

        = 2x + x-2

(Jawaban : E)

Daftar Pustaka

- https://rumuspintar.com/turunan/

- https://majalahpendidikan.com/sifat-turunan/

- http://rumusnih.blogspot.com/2016/06/menentukan-turunan-differensial-fungsi.html

- https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi-aljabar/

- http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2016/11/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi.html