Pengalaman saat pembelajaran Matematika: Integral Tak Tentu Bersama Sifat

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Integral Tak Tentu Bersama Sifat - Sifatnya Beserta Contoh Soalnya

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral.Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu.Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Definisi Integral Tak Tentu

Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral) atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Seperti yang telah disebutkan sebelumya, Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai Indefinite Integral maupun ada juga yang menyebutnya sebagai Antiderivatif merupakan sebuah bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.

Fungsi ini belum mempunyai nilai pasti sampai cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut sebagai integral tak tentu.Apabila f berwujud integral tak tentu dari sebuah fungsi F maka F’= f.

Proses memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang berhubungan dengan integral lewat “Teorema dasar kalkulus”. Serta memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Sifat Sifat Integral Tak Tentu

Jika $f$ dan $g$ masing-masing terintegral pada $[a,b]$ dan $k\in\mathbb{R}$ maka $f+g$ dan $kf$ keduanya terintegral pada $[a,b]$ dan

$\begin{equation*} \int{(f(x)+g(x))}~dx=\int{f(x)}~dx+\int{g(x)}~dx \end{equation*}$

$\begin{equation*} \int{kf(x)}~dx=k\int{f(x)}~dx. \end{equation*}$

Bukti.
Misalkan $F(x)=\int{f(x)}~dx+\int{g(x)}~dx$ , untuk setiap $x\in[a,b]$ . Dengan demikian, untuk setiap $x\in[a,b]$ diperoleh

$\begin{eqnarray*} \frac{dF(x)}{dx}&=& \frac{d}{dx}\left(\int{f(x)}~dx+\int{g(x)}~dx\right) \\ &=& \frac{d}{dx}\int{f(x)}~dx+\frac{d}{dx}\int{g(x)}~dx \\ &=& f(x)+g(x). \end{eqnarray*}$

Jadi, $f+g$ terintegral pada $[a,b]$ dan

$\begin{equation*} \int{(f(x)+g(x))}~dx=\int{f(x)}~dx+\int{g(x)}~dx. \end{equation*}$

Lebih lanjut, misalkan $G(x)=k\int{f(x)}~dx$ , untuk setiap $x\in[a,b]$ . Dengan demikian, untuk setiap $x\in[a,b]$ diperoleh

$\begin{eqnarray*} \frac{dG(x)}{dx}&=& \frac{d}{dx}\left(k\int{f(x)}~dx\right)\\ &=& k\frac{d}{dx}\int{f(x)}~dx \\ &=& kf(x). \end{eqnarray*}$

Jadi, $kf$ terintegral pada $[a,b]$ dan

$\begin{equation*} \int{kf(x)}~dx=k\int{f(x)}~dx. \end{equation*}$

Rumus Integral Tak Tentu

Rumus-rumusnya adalah sebagai berikut:

ʃ a dx = ax + c
ʃa f (x) dx = a ʃf (x) dx
ʃ xn dx = + c ; n ≠ –1
ʃ axn dx = + c ; n ≠ –1

Contoh Soal Integral Tak Tentu

$\int (12 x^{2} - 4 x + 1) d x = \dots$
$\begin{aligned} (A) & 6 x^{3} - 4 x^{2} + x + C \\ (B) & 6 x^{3} - 4 x^{2} + C \\ (C) & 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + C \\ (D) & 4 x^{3} - 2 x^{2} + x + C \\ (E) & 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + C \end{aligned}$

Pembahasan :

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{aligned} \int (12 x^{2} - 4 x + 1) d x \\ = \frac{12}{2 + 1} x^{2 + 1} - \frac{4}{1 + 1} x^{1 + 1} + 1 x + C \\ = 4 x^{3} - 2 x^{2} + x + C \end{aligned}$

$∴$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) 4 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$

2. Hasil dari $\int (3 x^{2} - 5 x + 4) d x = \dots$
$\begin{aligned} (A) & x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + C \\ (B) & x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + C \\ (C) & 3 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + C \\ (D) & 6 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + C \\ (E) & 6 x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + C \end{aligned}$

Pembahasan :

Dengan menerapkan aturan dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{aligned} \int (3 x^{2} - 5 x + 4) d x \\ = \frac{3}{2 + 1} x^{2 + 1} - \frac{5}{1 + 1} x^{1 + 1} + 4 x + C \\ = x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + C \end{aligned}$

$∴$ Pilihan yang sesuai adalah $(A) x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + 4 x + C$

3. Hasil dari $\int (2 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x - 5) d x = \dots$
$\begin{aligned} (A) & \frac{1}{2} x^{4} - 6 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C \\ (B) & \frac{1}{2} x^{4} - 6 x^{3} + x^{2} - 5 x + C \\ (C) & \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5 x + C \\ (D) & \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C \\ (E) & \frac{1}{2} x^{4} - 6 x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + C \end{aligned}$

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
$\begin{aligned} \int (2 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x - 5) \\ = \frac{2}{3 + 1} x^{3 + 1} - \frac{9}{2 + 1} x^{2 + 1} + \frac{4}{1 + 1} x^{1 + 1} - 5 x + C \\ = \frac{2}{4} x^{4} - \frac{9}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} - 5 x + C \\ = \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C \end{aligned}$

$∴$ Pilihan yang sesuai adalah $(D) \frac{1}{2} x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C$

4. Hasil dari $\int (x - 2) {(x^{2} - 4 x + 3)}^{5} d x$ adalah...
$\begin{aligned} (A) & \frac{1}{3} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \\ (B) & \frac{1}{6} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \\ (C) & \frac{1}{12} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \\ (D) & \frac{1}{6} {(x - 2)}^{2} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \\ (E) & \frac{1}{6} {(x - 2)}^{2} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \end{aligned}$

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{aligned} u & = x^{2} - 4 x + 3 \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x - 4 \\ \frac{d u}{d x} & = 2 (x - 2) \\ \frac{1}{2} d u & = (x - 2) d x \end{aligned}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{aligned} \int (x - 2) {(x^{2} - 4 x + 3)}^{5} d x \\ = \int u^{5} (x - 2) d x \\ = \int u^{5} \cdot \frac{1}{2} d u \\ = \frac{1}{5 + 1} u^{5 + 1} \cdot \frac{1}{2} + C \\ = \frac{1}{12} u^{6} + C \\ = \frac{1}{12} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C \end{aligned}$

$∴$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \frac{1}{12} {(x^{2} - 4 x + 3)}^{6} + C$

5. Hasil dari $\int (2 x - 1) {(x^{2} - x + 3)}^{3} d x$ adalah...
$\begin{aligned} (A) & \frac{1}{3} {(x^{2} - x + 3)}^{3} + C \\ (B) & \frac{1}{4} {(x^{2} - x + 3)}^{3} + C \\ (C) & \frac{1}{4} {(x^{2} - x + 3)}^{4} + C \\ (D) & \frac{1}{2} {(x^{2} - x + 3)}^{4} + C \\ (E) & {(x^{2} - x + 3)}^{4} + C \end{aligned}$

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal Integral di atas kita coba dengan menggunakan aturan dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka kita akan peroleh:
misal:
$\begin{aligned} u & = x^{2} - x + 3 \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x - 1 \\ d u & = (2 x - 1) d x \end{aligned}$

Soal di atas, kini bisa kita tulis menjadi;
$\begin{aligned} \int (2 x - 1) {(x^{2} - x + 3)}^{3} d x \\ = \int {(x^{2} - x + 3)}^{3} (2 x - 1) d x \\ = \int {(u)}^{3} d u \\ = \frac{1}{3 + 1} u^{3 + 1} + C \\ = \frac{1}{4} {(x^{2} - x + 3)}^{4} + C \end{aligned}$

$∴$ Pilihan yang sesuai adalah $(C) \frac{1}{4} {(x^{2} - x + 3)}^{4} + C$