Integral Tertentu Bersama Sifat - Sifatnya Beserta Contoh Soalnya

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Integral Tertentu Bersama Sifat - Sifatnya Beserta Contoh Soalnya

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral.Antara lain: integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu.Serta yang kedua, integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Definisi Integral Tertentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta. Namun dapat juga batas-batas tersebut berupa variabel. Untuk mencari nilai integral tertentu dari suatu fungsi, pertama kita substitusikan batas atas ke dalam fungsi hasil integral, kemudian dikurangi hasil substitusi batas bawah pada fungsi hasil integral.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:
f(x) = fungsi yang nantinya akan kita integralkan

d(x) = variabel integral

a = batas bawah pada variabel integral

b = batas atas pada variabel integral

F(a) = nilai integral pada batas bawah

F(b) = nilai integral pada batas atas

Sifat-sifat pada Integral Tentu 

Integral sebenarnya dapat ditentukan dengan mudah. Untuk mempermudah perhitungan integral, Gengs dapat memanfaatkan sifat-sifat integral berikut ini.

Pertama. Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol karena tidak ada daerah antara batas batas tersebut.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kedua. Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjasi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integral yang sama, maka akan diperoleh hasil hasil yang sama namun berbeda tanda.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Ketiga. Jika f(x) adalah fungsi integral dan k merupakan tetapan (konstanta) sembarang.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keempat. Misalkan diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral  tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Kelima. Misalkan terdapat dua integral dengan nilai fungsi yang sama dan nilai pada batas atas pada fungsi pertama sama dengan nilai pada batas bawah pada fungsi kedua.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Keenam. Apabila fungsi f(x) nya bukan suatu fungsi melainkan konstanta.

Berikut ini adalah rumus secara matematis:

Contoh Soal

1. Nilai dari 

${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $-12$                  C. $0$                   E. $12$
B. $-6$                    D. $6$

Pembahasan : 

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x& ={[\frac{1}{3}{x}^3-3x]}_{-1}^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3-3\left(2\right))-\left(\frac{1}{3}\right(-1{)}^3-3(-1))\\ & =(\frac{8}{3}-6)-(-\frac{1}{3}+3)\\ & =\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-6-3\\ & =\frac{9}{3}-9=-6\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^2(x^2-3)\text{d}x=-6$
(Jawaban B)

2. Nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x$ sama dengan $\cdots \cdots$
A. $75\frac{1}{2}$                      D. $78\frac{1}{2}$
B. $76\frac{1}{2}$                      E. $80$
C. $78\frac{1}{4}$

Pembahasan :

Dengan menggunakan aturan integral dasar beserta definisi integral tentu, diperoleh
$$\begin{array}{cc}{\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x& ={\int }_1^4(5x^2-6x^{1/2}+2x^{-2})\text{d}x\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-\frac{6}{3/2}{x}^{3/2}+\frac{2}{-1}{x}^{-1}]}_1^4\\ & ={[\frac{5}{3}{x}^3-4x^{3/2}-\frac{2}{x}]}_1^4\\ & =\left(\frac{5}{3}\right(4{)}^3-4(4{)}^{3/2}-\frac{2}{4})-\left(\frac{5}{3}\right(1{)}^3-4(1{)}^{3/2}-\frac{2}{1})\\ & =(\frac{320}{3}-32-\frac{1}{2})-(\frac{5}{3}-4-2)\\ & =\frac{315}{3}-26-\frac{1}{2}\\ & =105-26-\frac{1}{2}\\ & =78\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_1^4(5x^2-6\sqrt{x}+\frac{2}{x^2})\text{d}x=78\frac{1}{2}$
(Jawaban D)

3. Jika ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$, maka nilai ${\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $0$                    E. $-6$
B. $3$                   D. $-1$

Pembahasan :

Diketahui ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$.
Misalkan $u=5-x$, sehingga $\text{d}u=(-1)\text{d}x$ atau ekuivalen dengan $\text{d}x=-\text{d}u$.
Batas atas integral dengan variabel $u$ menjadi
$u=5-x=5-4=1$.
Batas bawahnya menjadi
$u=5-x=5-1=4$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{\int }_1^{4}f(5-x)\text{d}x& ={\int }_4^{1}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ \text{Balikkan batas}& \text{integralnya}\\ & =-{\int }_1^{4}f\left(u\right)(-\text{d}u)\\ & ={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u=6\end{array}$
Ingat bahwa:
${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x={\int }_1^{4}f\left(u\right)\text{d}u$
(mengganti variabel secara bersama tidak mengubah hasil integrasi).
Jadi, nilai dari ${\int }_1^{4}f\left(x\right)\text{d}x=6$
(Jawaban A)

4. Nilai $a$ yang memenuhi ${\int }_1^a(2x+3)\text{d}x=6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                   C. $3$                  E. $10$
B. $2$                       D. $5$

Pembahasan :

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan nilai sebuah integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_1^a(2x+3)\text{d}x& =6\\ {[x^2+3x]}_1^a& =6\\ (a^2+3a)-\left(\right(1{)}^2+3\left(1\right))& =6\\ a^2+3a-10& =0\\ (a+5)(a-2)& =0\end{array}$
Diperoleh nilai $a=-5$ atau $a=2$.
Karena $a$ merupakan batas atas integral yang nilainya harus lebih besar dari batas bawahnya, yaitu $1$, maka kita ambil $a=2$.
(Jawaban B)

5. Nilai $p$ yang memenuhi ${\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x=68$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                  E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan :

Dengan menggunakan cara yang sama seperti menentukan hasil integral tentu, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{\int }_0^4(3x^2+px-3)\text{d}x& =68\\ {[x^3+\frac{p}{2}{x}^2-3x]}_0^4& =68\\ (4^3+\frac{p}{2}\cdot {4^2}^8-3(4\left)\right)-0& =68\\ 64+8p-12& =68\\ 52+8p& =68\\ 8p& =16\\ p& =2\end{array}$
Jadi, nilai $p=2$
(Jawaban C)

6. Jika nilai ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x=3$ dan ${\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x=-6$, maka nilai ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                     C. $4$                    E. $8$
B. $-6$                     D. $6$

Pembahasan : 

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x& =3\\ {\int }_{-1}^{3}3g\left(x\right)\text{d}x& =-6\\ \Rightarrow {\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x& =-2\end{array}$
Dengan menggunakan sifat kelinearan integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x\\ & =2{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x-{\int }_{-1}^{3}g\left(x\right)\text{d}x\\ & =2\left(3\right)-(-2)=6+2=8\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-1}^3\left(2f\right(x)-g(x\left)\right)\text{d}x=8$
(Jawaban E)

7. Jika ${\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-17$ dan ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $0$                    E. $21$
B. $-13$                  D. $13$

Pembahasan : 

Diketahui:
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-17\\ {\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x& =-4\end{array}$
Karena ${\int }_5^{2}f\left(x\right)\text{d}x=-4$, maka dengan membalikkan batas integralnya dan menambahkan tanda negatif di depan, diperoleh ${\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x=4$.
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_{-5}^{2}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_2^{5}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =-17+4=-13\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-13$
(Jawaban B)

8. Diketahui fungsi $f\left(x\right)$ memenuhi sifat $f(-x)=-f\left(x\right)$. Jika ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$, maka nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-8$                   C. $-4$                   E. $6$
B. $-6$                   D. $4$

Pembahasan : 

Fungsi $f$ disebut fungsi ganjil karena memenuhi $f(-x)=-f\left(x\right)$.
Untuk itu, dalam integral berlaku
${\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$
untuk $a$ bilangan real.
Diketahui ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)\text{d}x=4$. Dari sini, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x+0& =4\\ {\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x& =4\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=4$
(Jawaban D)

9. Jika nilai ${\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x=5$ dan ${\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x=0$, maka ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $10$                  C. $0$                    E. $-10$
B. $5$                    D. $-5$

Pembahasan : 

Diketahui:
$\begin{array}{cc}1){\int }_b^{a}f\left(x\right)\text{d}x& =5\\ ⟹{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x& =-5\\ 2\left){\int }_c^{a}f\right(x)\text{d}x& =0\end{array}$
Berdasarkan sifat kekontinuan batas integral, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_c^{a}f\left(x\right)\text{d}x+{\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x\\ & =0+(-5)=-5\end{array}$
Jadi, nilai dari ${\int }_c^{b}f\left(x\right)\text{d}x=-5$
(Jawaban D)

10. Diketahui $f(-x)=f\left(x\right)-3$. Jika ${\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x=2$ dan ${\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{d}x=-3$, maka nilai dari ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $-3$                  C. $0$                 E. $5$
B. $-1$                  D. $3$

Pembahasan : 

Misalkan $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$. Ini berarti,
$\begin{array}{cc}\int f(-x)\text{d}x& =\int \left(f\right(x)-3)\text{d}x\\ & =F\left(x\right)-3x+C\end{array}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{array}{cccc}{\int }_1^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =2& & \\ ⟹F\left(5\right)-F\left(1\right)& =2& & (\cdots 1)\end{array}$
dan
$\begin{array}{cccc}{\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{d}x& =-3& & \\ ⟹F\left(5\right)-F\left(3\right)& =-3& & (\cdots 2)\end{array}$
Eliminasi $F\left(5\right)$ dari kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $F\left(3\right)-F\left(1\right)=5$
Selanjutnya,
$$\begin{array}{cc}{\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x& ={\int }_3^{1}f(-x)(-\text{d}x)\\ & ={\int }_1^{3}f(-x)\text{d}x\\ & ={\left[F\right(x)-3x]}_1^3\\ & =\left(F\right(3)-F(1\left)\right)-3(3-1)\\ & =5-3\left(2\right)=-1\end{array}$$Jadi, nilai dari ${\int }_{-3}^{-1}f\left(x\right)\text{d}x=-1$
(Jawaban B)

Daftar Pustaka

- https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/integral-tak-tentu.html

- https://www.sheetmath.com/2018/06/integral-tentu-contoh-soal-dan-pembahasan.html

- https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-integral-tentu/