Nilai Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19)

Kelas : XI IPS 2

Pengertian Nilai Stasioner Fungsi

Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4 adalah f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)² + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)² + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.

Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2. Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f.

Definisi 1 :

Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi diam (stasioner) merupakan kondisi dari turunan pertama suatu fungsi pada suatu interval tertentu. Kondisi yang dimaksud dapat berupa berikut.

a.       Jika f′(x)f′(x) bertanda positif, atau f′(x)>0f′(x)>0, maka kurva fungsi dalam keadaan naik (disebut fungsi naik).

b.       Jika f′(x)f′(x) bertanda negatif, atau f′(x)<0f′(x)<0, maka kurva fungsi dalam keadaan turun (disebut fungsi turun).

c.       Jika f′(x)f′(x) bertanda netral, atau f′(x)=0f′(x)=0, maka kurva fungsi dalam keadaan tidak turun dan tidak naik, istilahnya kita sebut sebagai stasioner (disebut juga fungsi diam).

Kondisi suatu fungsi y=f(x)y=f(x) dalam keadaan naik, turun, atau diam
Diberikan fungsi y=f(x)y=f(x) dalam interval II dengan f(x)f(x) diferensiabel (dapat diturunkan) pada setiap xx di dalam interval II.

1.       Jika f′(x)>0f′(x)>0, maka kurva f(x)f(x) akan selalu naik pada interval II.

2.       Jika f′(x)<0f′(x)<0, maka kurva f(x)f(x) akan selalu turun pada interval II.

3.       Jika f′(x)=0f′(x)=0, maka kurva f(x)f(x) stasioner (tetap/diam) pada interval II.

4.       Jika f′(x)≥0f′(x)≥0, maka kurva f(x)f(x) tidak pernah turun pada interval II.

5.       Jika f′(x)≤0f′(x)≤0, maka kurva f(x)f(x) tidak pernah naik pada interval II.

Perhatikan sketsa grafik suatu fungsi f(x)f(x) berikut.

Contoh Soal

1. Interval x yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah ...

A. −1 < x < 3

B. 0 < x < 3

C. 1 < x < 3

D. x < 1 atau x > 3

E. x < 0 atau x > 3

Pembahasan :

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

$\mathrm{2.\; Diberikan\; Fungsi\; g}\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah ...
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan : 

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$
(Jawaban C)

$\mathrm{3.\; Grafik\; Fungsi\; p}\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan :

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$
(Jawaban B)

$\mathrm{4.\; Grafik\; Fungsi\; \pi }\left(x\right)=x^3+3x^2+5$ tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$

Pembahasan : 

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$, sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$
(Jawaban A)

$\mathrm{5.\; Diberikan\; fungsi\; R}\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan : 

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$.
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

 

(Jawaban B)

Daftar Pustaka

- https://www.nafiun.com/2014/06/pengertian-nilai-stasioner-fungsi-contoh-soal-rumus-cara-menetukan-dan-menghitung-pembahasan-matematika.html

- https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-fungsi-naik-dan-fungsi-turun/#:~:text=Jika%20f%E2%80%B2(x)%20bertanda,turun%20(disebut%20fungsi%20turun)