Sifat - Sifat Limit Dan Contoh Soalnya Serta Soal Kontekstual Yang Berhubungan Dengan Limit

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (19) 

Kelas : XI IPS 2

Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c

1. lim _x →a  xⁿ = aⁿ

1. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

1. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)

1. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

1. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

1. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

1. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c
Tentukan nilai lim _x →2 7 !
Jawab :
Dik :
a = 2
c = 7
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :
lim _x →2 7 = 7
Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 
Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!
Jawab :
Dik :
a = 2
n = 3
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :
lim _x →2 x³ = 2³
lim _x →2 x³ = 8
Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!
Jawab :
Dik :
a = 2 
c = 4
f(x) = ( x + 2 )
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :
lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))
lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)
lim _x →2 4( x + 2 ) = 16
Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 
Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x³
g(x) = x⁴
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :
lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴
lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴
lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16
lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24
Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x³
g(x) = x⁴
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :
lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴
lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴
lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16
lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128
Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!
Jawab :
dik :
a = 2
f(x) = x⁴
g(x) = x³
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :
lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)
lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³
lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8
lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2
Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!
Jawab :
Dik :
a = 2
f(x) = x⁴ + 1
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :
lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²
lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²
lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²
lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²
lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289
Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)
Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!
Jawab :
Dik :
a = 2
f(x) = x⁴
n = 2
Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :
lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴
lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴
lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶
lim _x →2²√x⁴ = 4

Contoh Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Limit

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan sesaat (instantaenous velocity) yang dirumuskan dengan 

v (t) = t2 $\mathrm{-\; t}$ dengan $v\left(t\right)$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Jika $t$ mendekati $5$ detik, maka kecepatan mobil tersebut adalah $\cdots$ m/detik.

Jawab : 

Secara matematis, kecepatan mobil saat $t$ mendekati detik ke-$5$ adalah $\underset{x\to 5}{lim}v\left(t\right)$.
Diketahui $v\left(t\right)=t^2-t$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{array}{cc}\underset{x\to 5}{lim}(t^2-t)& =(5{)}^2-(5)\\ & =25-5=20\end{array}$
Jadi, kecepatan mobil akan mendekati $20$ m/detik.

2. Angka pertumbuhan penduduk setiap tahun dirumuskan dengan 

$p\left(t\right)=\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}$ dengan $p\left(t\right)$ dalam persen dan $t$ dalam tahun. Pertumbuhan penduduk mendekati tahun kelima $(t=5)$ adalah $\cdots \%$.

Jawab :

Secara matematis, angka pertumbuhan penduduk saat $t$ mendekati tahun ke-$5$ adalah $\underset{t\to 5}{lim}p\left(t\right)$.
Diketahui $p\left(t\right)=\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}$.
Dengan menggunakan teknik substitusi, kita peroleh
$\begin{array}{cc}\underset{t\to 5}{lim}\sqrt{\frac{1}{2}{t}^2-3t+5}& =\sqrt{\frac{1}{2}(5{)}^2-3(5)+5}\\ & =\sqrt{\frac{25}{2}-10}\\ & =\sqrt{12,5-10}\\ & =\sqrt{2,5}\end{array}$
Jadi, angka pertumbuhan penduduk akan mendekati $\sqrt{2,5\%}$

3. Tiga anak (sebut nama mereka: Ani, Budi dan Candra) sedang bermain tebak angka. Ani memberikan pertanyaan dan kedua temannya akan berlomba memberikan jawaban yang terbaik. Perhatikanlah percakapan mereka berikut.

Jawab :

Kedua teman Ani berlomba memberikan jawaban bilangan terdekat ke 3, seperti pada Gambar 10.4. Pada awalnya Budi dan Candra mengambil bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan sehingga mereka menjawab 2 dan 4. Ternyata masih ada bilangan real lain yang terdekat ke 3, sehingga Budi harus memberi bilangan yang lebih dekat lagi ke 3 dari kiri, maka Budi menyebut 2,5.

Hal ini membuat Candra ikut bersaing untuk mencari bilangan lain, sehingga ia menjawab 3,5. Demikianlah mereka terus-menerus memberikan jawaban sebanyak mungkin sampai akhirnya mereka menyerah untuk mendapatkan bilangan-bilangan terdekat ke-3.

Berdasarkan pemahaman kasus ini, ternyata ketidakmampuan teman-teman Ani untuk menyebutkan semua bilangan tersebut telah membuktikan bahwa begitu banyak bilangan real di antara bilangan real lainnya. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan jawaban-jawaban Budi dan Candra maka x akan disebut bilangan yang mendekati 3 (secara matematika, dituliskan x → 3)

Daftar Pustaka

- https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html

- https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-limit-fungsi-aljabar/