Pengalaman saat pembelajaran Matematika: Metode Pembuktian dalam Matematika

Assalamualaikum Wr.Wb

Nama : Khairunnisa Ika Putri (18)
Kelas : XI IPS 2

PEMBUKTIAN LANGSUNG
Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan.
Contoh : Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.
Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,
dengan k bilangan bulat
sehingga n2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1
Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjil
Jadi n2 bilangan ganjil
Contoh soal :
1. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah m dan n. Karena m dan n ganjil, maka terdapat bilangan bulat p dan q sedemikian sehingga m=2p+1 dan n=2q+1. Dengan menjumlahkan diperoleh
m+n = (2p+1)+(2q+1)
=2p+2q+2
=2(p+q+1)
=2k
Karena m+n = 2k untuk bilangan bulat k = p+q+1 maka m+n merupakan bilangan genap berdasarkan definisi bilangan genap.
Q.E.D.

2. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap
Bukti
Misalkan bilangan tersebut adalah m=2p dan n=2q dengan suatu bilangan bulat p dan q. Jumlahkan m dan n diperoleh
m+n = 2p+2q
= 2(p+q)
= 2k
Karena m+n = 2k untuk bilangan bulat k = p+q, maka m+n adalah bilangan genap.
Q.E.D.

PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG
Pembuktian Tidak Langsung Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :
1) Kontraposisi
Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi
Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut
Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p
Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan
kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.
Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan
kebenaran kontraposisinya.
Misalnya : p = n2 bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil
Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?
Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.
Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2).
Artinya n2 bilangan genap.
Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,
sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.
Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n adalah
bilangan ganjil.

2) Kontradiksi
Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :
1. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat ganjil,
q : n² bilangan bulat ganjil

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat ganjil,
∼ q : n² bilangan bulat genap.
Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1, Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat genap. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.

2. Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap
Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :
p : n bilangan bulat genap,
q : n² bilangan bulat genap

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :
p : n bilangan bulat genap,
∼ q : n² bilangan bulat ganjil.
Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :
n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k²), Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :
n² = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.

INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli
Prinsip Induksi Matematika :
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.
Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Jenis Induksi Matematika
1. Deret Bilangan
Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$

Langkah 1
untuk n = 1, maka :
$1 = \frac{1}{2}n(n + 1)$
$1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)$
1 = 1
Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:
$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)$

Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:
$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)$
Pembuktiannya:
$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1)$
(dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1)
$= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]$ dimodifikasi menyerupai   $\frac{1}{2} k (k + 1)$
$= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)
$= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$
$= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$
$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

2. Bilangan bulat hasil pembagian
Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa $5^{2n} + 3n - 1$ habis dibagi 9.

Langkah 1
untuk n = 1, maka:
$5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1$
$=5^2 + 3 - 1$
= 27
27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka :
$5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1$ (habis dibagi 9)
$5^{2k} + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi 5^{2k} + 3k - 1 oleh 9)

Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:
$5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1$
$= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1$
$= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1$
kemudian (5^{2k}) dimodifikasi dengan memasukan $5^{2k} + 3k - 1$
$= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$
$= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27$
$= 25 (9b) - 72k + 27$

Contoh Soal :
1. Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$

Pembahasan:
Langkah 1
$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$
1 = 1 (terbukti)

Langkah 2 (n = k)
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$
(kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$
$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {terbukti).

2. Buktikan bahwa
$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}$
Pembahasan:

Langkah 1
$\frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)
$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Langkah 3 (n = k + 1)
$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Dibuktikan dengan:
$= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (kedua ruas dikali $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )
$= 2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$       (2k dimodifikasi menjadi 2k+1)

$= 2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$= 2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$= 2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$        (terbukti)

3. Buktikan bahwa $3^{2n} + 2{2n + 2}$ habis dibagi 5.

Pembahasan:

Langkah 1
$3^{2(1)} + 2^{2(1)+2} = 3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25$ habis dibagi 5 (terbukti)

Langkah 2 (n = k)
$3^{2k} + 2^{2k+2}$

Langkah 3 (n = k + 1)
$3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2}$

$= 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2}$

$= 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2})$ (dalam kurung dibuat sama dengan bentuk soal)

$=10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2}$ ( $3^2$ dibuat 10 dan $2^2$ dibuat 5, agar bisa dibagi 5)

( $3^2$ dibuat 10 dan $2^2$ dibuat 5, agar bisa dibagi 5)

DAFTAR PUSTAKA
https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika
http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1
http://mathismatematika.blogspot.com/2016/09/pembuktian-teorema-bukti-langsung.html
https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Pengalaman saat pembelajaran Matematika

Minggu, 26 Juli 2020

Metode Pembuktian dalam Matematika

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Pendapat Siswa terhadap Pembelajaran Daring

Laporkan Penyalahgunaan